Номер 163, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 163, страница 52.

Условие.

163. Постройте в координатной плоскости фигуру, координаты каждой точки которой являются решениями системы неравенств:

a) $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 16, \\ y \ge \frac{2}{x}, \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y \le 6, \\ |x| + y \ge 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3x - y \ge 0, \\ x^2 + |y| \ge 4; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + (y - 1)^2 \le 16, \\ |y| + 3x \le 3. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

a)

Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 16 \\ y \ge \frac{2}{x} \end{cases}$.
Первое неравенство, $x^2 + y^2 \le 16$, задает круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=4$, включая его границу.
Второе неравенство, $y \ge \frac{2}{x}$, задает множество точек, лежащих на и выше гиперболы $y = \frac{2}{x}$. Область определения этого неравенства — все $x$, кроме $x=0$. Гипербола имеет две ветви: одну в первой координатной четверти (при $x>0$) и одну в третьей (при $x<0$).
Искомая фигура является пересечением этих двух множеств. Это точки круга, которые одновременно удовлетворяют условию $y \ge \frac{2}{x}$. Фигура состоит из двух отдельных частей.
Ответ: Искомая фигура — это множество точек круга $x^2+y^2 \le 16$, которые находятся на или выше графика гиперболы $y = 2/x$. Фигура состоит из двух непересекающихся частей.

б)

Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} x^2 + y \le 6 \\ |x| + y \ge 4 \end{cases}$.
Перепишем систему в более удобном для построения виде: $\begin{cases} y \le 6 - x^2 \\ y \ge 4 - |x| \end{cases}$.
Первое неравенство, $y \le 6 - x^2$, задает область, расположенную ниже и на параболе $y = 6 - x^2$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 6)$.
Второе неравенство, $y \ge 4 - |x|$, задает область выше и на графике функции $y = 4 - |x|$. График $y = 4 - |x|$ представляет собой "уголок" с вершиной в точке $(0, 4)$ и ветвями, направленными вниз (прямые $y=4-x$ для $x \ge 0$ и $y=4+x$ для $x < 0$).
Искомая фигура — это область, заключенная между графиками этих двух функций. Найдем точки их пересечения, решив уравнение $6 - x^2 = 4 - |x|$.
- При $x \ge 0$: $6 - x^2 = 4 - x \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1)=0$. Так как $x \ge 0$, то $x=2$. При этом $y=2$. Точка $(2, 2)$.
- При $x < 0$: $6 - x^2 = 4 + x \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1)=0$. Так как $x < 0$, то $x=-2$. При этом $y=2$. Точка $(-2, 2)$.
Ответ: Искомая фигура — это область, ограниченная сверху дугой параболы $y = 6 - x^2$ и снизу ломаной $y = 4 - |x|$, концами которой являются точки пересечения $(-2, 2)$ и $(2, 2)$.

в)

Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} 3x - y \ge 0 \\ x^2 + |y| \ge 4 \end{cases}$.
Перепишем систему: $\begin{cases} y \le 3x \\ |y| \ge 4 - x^2 \end{cases}$.
Первое неравенство, $y \le 3x$, задает полуплоскость, расположенную ниже и на прямой $y = 3x$, проходящей через начало координат.
Второе неравенство, $x^2 + |y| \ge 4$, задает область вне фигуры, ограниченной кривой $x^2 + |y| = 4$. Раскроем модуль:
- При $y \ge 0$: $x^2 + y \ge 4 \implies y \ge 4 - x^2$. Это область на и выше параболы $y = 4-x^2$.
- При $y < 0$: $x^2 - y \ge 4 \implies y \le x^2 - 4$. Это область на и ниже параболы $y = x^2-4$.
Таким образом, второе неравенство описывает всю плоскость, за исключением "глазоподобной" области между параболами $y=4-x^2$ и $y=x^2-4$.
Искомая фигура — это пересечение полуплоскости $y \le 3x$ и области, заданной вторым неравенством.
Ответ: Искомая фигура — это часть полуплоскости, лежащая на или ниже прямой $y = 3x$, из которой исключена открытая область, ограниченная кривой $x^2 + |y| = 4$.

г)

Рассмотрим систему неравенств $\begin{cases} x^2 + (y-1)^2 \le 16 \\ |y| + 3x \le 3 \end{cases}$.
Первое неравенство, $x^2 + (y-1)^2 \le 16$, задает круг с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом $R=4$, включая его границу.
Второе неравенство, $|y| + 3x \le 3$, или $3x \le 3 - |y|$, задает область, ограниченную справа. Раскроем модуль:
- При $y \ge 0$: $y + 3x \le 3 \implies y \le 3 - 3x$. Это полуплоскость ниже и на прямой $y = 3-3x$.
- При $y < 0$: $-y + 3x \le 3 \implies y \ge 3x - 3$. Это полуплоскость выше и на прямой $y = 3x-3$.
Граница $y = 3-3x$ (для $y \ge 0$) и $y=3x-3$ (для $y < 0$) образует "уголок", открывающийся влево, с вершиной в точке $(1, 0)$. Неравенство задает область внутри этого "уголка" (то есть левее его границы).
Искомая фигура — это пересечение круга и области, заданной вторым неравенством.
Ответ: Искомая фигура — это часть круга с центром в $(0, 1)$ и радиусом 4, которая находится левее или на ломаной, состоящей из лучей $y = 3 - 3x$ для $y \ge 0$ и $y = 3x - 3$ для $y < 0$.