Номер 159, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 159, страница 51.

Условие.

159. Сторона ромба не больше 10 см, а сумма его диагоналей не больше 25 см. Исследуйте, может ли площадь этого ромба быть равной: а) 55 $ \text{см}^2 $; б) 60 $ \text{см}^2 $?

Решение.

Решение 2 (rus).

Обозначим сторону ромба как $a$, его диагонали как $d_1$ и $d_2$, а площадь как $S$.

Согласно условиям задачи, имеем следующие ограничения:

1. Сторона ромба: $a \le 10$ см.

2. Сумма диагоналей: $d_1 + d_2 \le 25$ см.

Для решения задачи воспользуемся основными формулами для ромба:

Площадь ромба через диагонали: $S = \frac{d_1 d_2}{2}$.

Связь между стороной и диагоналями (из теоремы Пифагора для четверти ромба): $a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$, что можно преобразовать к виду $4a^2 = d_1^2 + d_2^2$.

Из условия $a \le 10$ следует, что $a^2 \le 100$, а значит $4a^2 \le 400$. Это дает нам еще одно важное ограничение на диагонали: $d_1^2 + d_2^2 \le 400$.

Таким образом, для того чтобы ромб с заданной площадью $S$ мог существовать, необходимо найти такие положительные значения диагоналей $d_1$ и $d_2$, которые удовлетворяли бы системе условий:

$\begin{cases} d_1 + d_2 \le 25 \\ d_1^2 + d_2^2 \le 400 \\ \frac{d_1 d_2}{2} = S \end{cases}$

Проверим оба предложенных значения площади.

а)

Исследуем, может ли площадь ромба быть равной $S = 55$ см$^2$.

Из формулы площади находим произведение диагоналей: $\frac{d_1 d_2}{2} = 55 \implies d_1 d_2 = 110$.

Теперь система условий выглядит так:

$\begin{cases} d_1 + d_2 \le 25 \\ d_1^2 + d_2^2 \le 400 \\ d_1 d_2 = 110 \end{cases}$

Используем алгебраическое тождество $(d_1 + d_2)^2 = d_1^2 + d_2^2 + 2d_1d_2$.

Из него следует, что $d_1^2 + d_2^2 = (d_1 + d_2)^2 - 2d_1d_2$. Подставим $d_1 d_2 = 110$ в неравенство $d_1^2 + d_2^2 \le 400$:

$(d_1 + d_2)^2 - 2 \cdot 110 \le 400 \implies (d_1 + d_2)^2 \le 620$.

Отсюда получаем, что $d_1 + d_2 \le \sqrt{620} \approx 24.9$ см. Это условие является более строгим, чем исходное $d_1 + d_2 \le 25$.

Теперь нужно убедиться, что такие диагонали в принципе могут существовать. Сумма $d_1+d_2$ и произведение $d_1d_2$ связаны через дискриминант квадратного уравнения $t^2 - (d_1+d_2)t + d_1d_2 = 0$, корнями которого являются $d_1$ и $d_2$. Для существования вещественных корней дискриминант должен быть неотрицательным: $D = (d_1+d_2)^2 - 4d_1d_2 \ge 0$.

$(d_1+d_2)^2 - 4 \cdot 110 \ge 0 \implies (d_1+d_2)^2 \ge 440$.

Следовательно, $d_1+d_2 \ge \sqrt{440} \approx 20.98$ см.

Итак, для суммы диагоналей $k = d_1+d_2$ мы получили интервал возможных значений: $\sqrt{440} \le k \le \sqrt{620}$. Поскольку этот интервал не пуст (например, $k=22$ принадлежит этому интервалу), то такой ромб может существовать.

Приведем конкретный пример. Пусть $d_1+d_2=22$ (что удовлетворяет $22 \le 25$). Тогда $d_1$ и $d_2$ — корни уравнения $t^2 - 22t + 110 = 0$. $d_{1,2} = 11 \pm \sqrt{121-110} = 11 \pm \sqrt{11}$.

Найдем сторону $a$ для такого ромба: $4a^2 = d_1^2+d_2^2 = (d_1+d_2)^2 - 2d_1d_2 = 22^2 - 2 \cdot 110 = 484-220=264$.

$a^2 = 66$. Так как $66 \le 100$, то условие $a \le 10$ выполняется.

Все условия выполнены, значит, такой ромб существует.

Ответ: да, может.

б)

Исследуем, может ли площадь ромба быть равной $S = 60$ см$^2$.

Произведение диагоналей: $\frac{d_1 d_2}{2} = 60 \implies d_1 d_2 = 120$.

Система условий:

$\begin{cases} d_1 + d_2 \le 25 \\ d_1^2 + d_2^2 \le 400 \\ d_1 d_2 = 120 \end{cases}$

Проведем аналогичный анализ. Из $d_1^2 + d_2^2 \le 400$ и $d_1d_2=120$ следует:

$(d_1 + d_2)^2 - 2 \cdot 120 \le 400 \implies (d_1 + d_2)^2 \le 640$.

Отсюда $d_1 + d_2 \le \sqrt{640} \approx 25.3$ см. Это не противоречит исходному условию $d_1 + d_2 \le 25$.

Проверим условие существования вещественных диагоналей:

$(d_1+d_2)^2 - 4 \cdot 120 \ge 0 \implies (d_1+d_2)^2 \ge 480$.

Следовательно, $d_1+d_2 \ge \sqrt{480} \approx 21.9$ см.

Таким образом, сумма диагоналей $k = d_1+d_2$ должна лежать в интервале $[\sqrt{480}, 25]$. Этот интервал не пуст.

Приведем конкретный пример. Выберем $k=23$, что удовлетворяет условию $\sqrt{480} \le 23 \le 25$.

Пусть $d_1+d_2=23$ и $d_1d_2=120$. Диагонали являются корнями уравнения $t^2 - 23t + 120 = 0$. Корни легко находятся: $t_1=8$ и $t_2=15$. Итак, $d_1=15$ см, $d_2=8$ см.

Найдем сторону $a$: $4a^2 = d_1^2+d_2^2 = 15^2+8^2 = 225+64=289$.

$a^2 = \frac{289}{4} = 72.25$. Так как $72.25 \le 100$, то $a = \sqrt{72.25}=8.5 \le 10$.

Все условия выполнены: $a=8.5 \le 10$, $d_1+d_2 = 23 \le 25$, $S = (15 \cdot 8)/2 = 60$. Значит, такой ромб существует.

Ответ: да, может.