Номер 154, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 154, страница 51.

Условие.

154. Проведите исследование и запишите систему неравенств, множество решений которой изображено на рисунке 25, а, б.

a)

$y \geq |x|$

$y < 3$

б)

$(x-3)^2 + (y-2)^2 \le 9$

$y > \frac{5}{3}x \quad \text{или} \quad y < -\frac{1}{3}x$

Рисунок 25

Решение.

Решение 2 (rus).

a)

Заданное множество является пересечением двух областей на координатной плоскости.

1. Нижняя граница области — это график функции $y = |x|$. Он состоит из двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. График проходит через начало координат (0,0), а также, например, через точки (3, 3) и (-3, 3). Так как линия сплошная и заштрихованная область находится выше этой линии, то первое неравенство системы: $y \ge |x|$.

2. Верхняя граница области — это горизонтальная прямая $y=3$. Линия изображена пунктиром, что означает строгое неравенство. Заштрихованная область находится ниже этой линии, следовательно, второе неравенство системы: $y < 3$.

Объединив эти условия, получаем искомую систему неравенств.

Ответ: $\begin{cases} y \ge |x| \\ y < 3\end{cases}$

б)

Заштрихованная область представляет собой множество точек, удовлетворяющих двум условиям.

1. Область находится внутри круга. Из рисунка видно, что центр круга находится в точке $C(3, 2)$, а его радиус $R=2$ (расстояние от центра до точек (3,4), (3,0), (1,2) или (5,2)). Уравнение окружности, являющейся границей круга, имеет вид $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$. Подставив координаты центра и радиус, получаем $(x-3)^2+(y-2)^2=4$. Поскольку граница сплошная и область находится внутри, первое неравенство: $(x-3)^2+(y-2)^2 \le 4$.

2. Область ограничена снизу двумя пунктирными линиями, которые образуют "перевернутую галочку". Эта фигура является графиком функции, содержащей модуль. Найдем уравнения этих линий.
Левая линия проходит через точки (1, 0) и (3, 4). Ее уравнение: $\frac{x-1}{3-1} = \frac{y-0}{4-0}$, что упрощается до $y=2x-2$.
Правая линия проходит через точки (5, 0) и (3, 4). Ее уравнение: $\frac{x-5}{3-5} = \frac{y-0}{4-0}$, что упрощается до $y=-2x+10$.
Эти две линии можно описать одним уравнением $y = -2|x-3|+4$.
Заштрихованная область находится выше этой V-образной границы. Пунктирные линии здесь обозначают границу незаштрихованной области. Таким образом, точки на самой границе принадлежат заштрихованной области. Следовательно, второе неравенство: $y \ge -2|x-3|+4$.

Итоговая система неравенств описывает пересечение этих двух множеств.

Ответ: $\begin{cases} (x - 3)^2 + (y - 2)^2 \le 4 \\ y \ge -2|x-3| + 4\end{cases}$