Номер 150, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 150, страница 50.

Условие.

150. Сумма площадей двух неравных квадратов не больше 16 $м^2$.
Найдите длины их сторон, если они выражаются целым числом метров.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть длины сторон двух квадратов равны $a$ и $b$ метров.

Согласно условию задачи, длины сторон выражаются целыми числами, поэтому $a$ и $b$ – натуральные числа ($a \in \mathbb{N}, b \in \mathbb{N}$).

Квадраты являются неравными, следовательно, их стороны не равны: $a \neq b$.

Площадь первого квадрата равна $a^2$, а второго – $b^2$. Сумма их площадей не больше 16 м², что записывается в виде неравенства: $a^2 + b^2 \le 16$.

Итак, нам нужно найти все пары различных натуральных чисел $(a, b)$, удовлетворяющие неравенству $a^2 + b^2 \le 16$. Для удобства будем считать, что $a < b$, чтобы избежать дублирования пар (например, пара (1, 2) и (2, 1) представляет одни и те же квадраты).

Рассмотрим возможные значения для $a$ методом перебора, начиная с наименьшего натурального числа.

Случай 1: a = 1
Подставим это значение в неравенство: $1^2 + b^2 \le 16$, что равносильно $1 + b^2 \le 16$, или $b^2 \le 15$.
Учитывая, что $b > a$ (т.е. $b > 1$) и $b$ — натуральное число, проверим возможные значения $b$:
- если $b = 2$, то $b^2 = 4$. Неравенство $4 \le 15$ выполняется. Сумма площадей: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$, что не больше 16. Пара (1, 2) является решением.
- если $b = 3$, то $b^2 = 9$. Неравенство $9 \le 15$ выполняется. Сумма площадей: $1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$, что не больше 16. Пара (1, 3) является решением.
- если $b = 4$, то $b^2 = 16$. Неравенство $16 \le 15$ не выполняется. Значит, других решений для $a=1$ нет.

Случай 2: a = 2
Подставим это значение в неравенство: $2^2 + b^2 \le 16$, что равносильно $4 + b^2 \le 16$, или $b^2 \le 12$.
Учитывая, что $b > a$ (т.е. $b > 2$), проверим возможные значения $b$:
- если $b = 3$, то $b^2 = 9$. Неравенство $9 \le 12$ выполняется. Сумма площадей: $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$, что не больше 16. Пара (2, 3) является решением.
- если $b = 4$, то $b^2 = 16$. Неравенство $16 \le 12$ не выполняется. Значит, других решений для $a=2$ нет.

Случай 3: a = 3
Подставим это значение в неравенство: $3^2 + b^2 \le 16$, что равносильно $9 + b^2 \le 16$, или $b^2 \le 7$.
По условию $b > a$, т.е. $b > 3$. Наименьшее натуральное число $b$, большее 3, это 4. Но $4^2 = 16$, а $16 > 7$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Если $a \ge 4$, то $a^2 \ge 16$. Тогда $a^2 + b^2 > 16$, так как $b^2 \ge 1$. Таким образом, для $a \ge 4$ решений также нет.

Мы нашли все возможные пары длин сторон: 1 м и 2 м; 1 м и 3 м; 2 м и 3 м.

Ответ: длины сторон квадратов могут быть 1 м и 2 м, или 1 м и 3 м, или 2 м и 3 м.