Номер 152, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 152, страница 50.

Условие.

152. Среди всех двузначных чисел, не превышающих 20, найдите то, которое больше увеличенного в 10 раз арифметического квадратного корня из произведения его цифр. Исследуйте все возможные случаи.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть искомое двузначное число представлено как $N = 10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Условие задачи состоит в том, что число должно быть больше, чем увеличенный в 10 раз арифметический квадратный корень из произведения его цифр. Математически это выражается неравенством: $10a + b > 10\sqrt{ab}$.

Нам нужно проверить все двузначные числа, не превышающие 20. Это числа от 10 до 20 включительно. Исследуем все возможные случаи.

Исследование числа 10

Для числа 10 имеем $a=1, b=0$. Подставим значения в неравенство:
$10 \cdot 1 + 0 > 10\sqrt{1 \cdot 0}$
$10 > 10\sqrt{0}$
$10 > 0$
Неравенство выполняется. Следовательно, число 10 удовлетворяет условию.

Исследование числа 11

Для числа 11 имеем $a=1, b=1$.
$10 \cdot 1 + 1 > 10\sqrt{1 \cdot 1}$
$11 > 10\sqrt{1}$
$11 > 10$
Неравенство выполняется. Следовательно, число 11 удовлетворяет условию.

Исследование числа 12

Для числа 12 имеем $a=1, b=2$.
$10 \cdot 1 + 2 > 10\sqrt{1 \cdot 2}$
$12 > 10\sqrt{2}$
Чтобы сравнить эти значения, возведем обе положительные части неравенства в квадрат:
$12^2 > (10\sqrt{2})^2$
$144 > 100 \cdot 2$
$144 > 200$
Неравенство неверно.

Исследование числа 13

Для числа 13 имеем $a=1, b=3$.
$13 > 10\sqrt{1 \cdot 3}$
$13 > 10\sqrt{3}$
Возведем в квадрат:
$13^2 > (10\sqrt{3})^2$
$169 > 100 \cdot 3$
$169 > 300$
Неравенство неверно.

Исследование числа 14

Для числа 14 имеем $a=1, b=4$.
$14 > 10\sqrt{1 \cdot 4}$
$14 > 10\sqrt{4}$
$14 > 10 \cdot 2$
$14 > 20$
Неравенство неверно.

Исследование числа 15

Для числа 15 имеем $a=1, b=5$.
$15 > 10\sqrt{1 \cdot 5}$
$15 > 10\sqrt{5}$
Возведем в квадрат:
$15^2 > (10\sqrt{5})^2$
$225 > 100 \cdot 5$
$225 > 500$
Неравенство неверно.

Исследование числа 16

Для числа 16 имеем $a=1, b=6$.
$16 > 10\sqrt{1 \cdot 6}$
$16 > 10\sqrt{6}$
Возведем в квадрат:
$16^2 > (10\sqrt{6})^2$
$256 > 100 \cdot 6$
$256 > 600$
Неравенство неверно.

Исследование числа 17

Для числа 17 имеем $a=1, b=7$.
$17 > 10\sqrt{1 \cdot 7}$
$17 > 10\sqrt{7}$
Возведем в квадрат:
$17^2 > (10\sqrt{7})^2$
$289 > 100 \cdot 7$
$289 > 700$
Неравенство неверно.

Исследование числа 18

Для числа 18 имеем $a=1, b=8$.
$18 > 10\sqrt{1 \cdot 8}$
$18 > 10\sqrt{8}$
Возведем в квадрат:
$18^2 > (10\sqrt{8})^2$
$324 > 100 \cdot 8$
$324 > 800$
Неравенство неверно.

Исследование числа 19

Для числа 19 имеем $a=1, b=9$.
$19 > 10\sqrt{1 \cdot 9}$
$19 > 10\sqrt{9}$
$19 > 10 \cdot 3$
$19 > 30$
Неравенство неверно.

Исследование числа 20

Для числа 20 имеем $a=2, b=0$.
$20 > 10\sqrt{2 \cdot 0}$
$20 > 10\sqrt{0}$
$20 > 0$
Неравенство выполняется. Следовательно, число 20 удовлетворяет условию.

Таким образом, после исследования всех двузначных чисел, не превышающих 20, мы нашли три числа, удовлетворяющих заданному условию.
Ответ: 10, 11, 20.