Номер 151, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 151, страница 50.

Условие.

151. Периметр равнобедренного треугольника не больше 10 м, причем каждая его сторона выражается целым числом метров. Установите, сколько существует пар чисел $ (x; y) $, удовлетворяющих условию задачи, если $ x $ м – длина боковой стороны, $ y $ м – длина основания треугольника.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $x$ м — длина боковой стороны равнобедренного треугольника, а $y$ м — длина его основания. Согласно условию задачи, $x$ и $y$ являются целыми числами. Так как это длины сторон, они должны быть положительными: $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Периметр $P$ такого треугольника вычисляется по формуле $P = x + x + y = 2x + y$. Условие, что периметр не больше 10 м, записывается в виде неравенства: $2x + y \le 10$.

Также для существования любого треугольника должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны. Для равнобедренного треугольника со сторонами $x, x, y$ достаточно проверить, что сумма длин боковых сторон больше основания: $x + x > y$, что эквивалентно $2x > y$. (Другое неравенство, $x+y > x$, выполняется автоматически, так как $y>0$).

Таким образом, задача сводится к нахождению количества пар целых положительных чисел $(x; y)$, удовлетворяющих системе неравенств:
1. $x \ge 1, y \ge 1$
2. $2x + y \le 10$
3. $y < 2x$

Решим эту систему, перебирая возможные целочисленные значения для $x$. Из неравенства $2x + y \le 10$ и условия $y \ge 1$ следует, что $2x + 1 \le 10$, откуда $2x \le 9$, или $x \le 4.5$. Поскольку $x$ — целое число, его возможные значения: 1, 2, 3, 4.

Рассмотрим последовательно каждый случай.

При $x = 1$
Неравенства для $y$ принимают вид: $y \le 10 - 2(1) \Rightarrow y \le 8$ и $y < 2(1) \Rightarrow y < 2$. С учетом того, что $y \ge 1$, получаем $1 \le y < 2$. Единственное целое значение для $y$ — это 1.
Получаем пару: $(1; 1)$.

При $x = 2$
Неравенства для $y$: $y \le 10 - 2(2) \Rightarrow y \le 6$ и $y < 2(2) \Rightarrow y < 4$. С учетом $y \ge 1$, получаем $1 \le y < 4$. Возможные целые значения для $y$: 1, 2, 3.
Получаем пары: $(2; 1), (2; 2), (2; 3)$.

При $x = 3$
Неравенства для $y$: $y \le 10 - 2(3) \Rightarrow y \le 4$ и $y < 2(3) \Rightarrow y < 6$. С учетом $y \ge 1$, получаем $1 \le y \le 4$. Возможные целые значения для $y$: 1, 2, 3, 4.
Получаем пары: $(3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4)$.

При $x = 4$
Неравенства для $y$: $y \le 10 - 2(4) \Rightarrow y \le 2$ и $y < 2(4) \Rightarrow y < 8$. С учетом $y \ge 1$, получаем $1 \le y \le 2$. Возможные целые значения для $y$: 1, 2.
Получаем пары: $(4; 1), (4; 2)$.

Суммируем количество найденных пар для каждого значения $x$:
$1 (\text{при } x=1) + 3 (\text{при } x=2) + 4 (\text{при } x=3) + 2 (\text{при } x=4) = 10$.
Всего существует 10 таких пар чисел.

Ответ: 10.