Номер 146, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 146, страница 49.

Условие.

146. Изобразите множество всех точек, координаты которых являются решениями системы неравенств $\begin{cases} y < x^2 + 1, \\ x^2 + (y-1)^2 < 4. \end{cases}$ Проведите исследование и укажите число ее решений с целыми значениями x и y.

Решение.

Решение 2 (rus).

Изобразите множество всех точек, координаты которых являются решениями системы неравенств
Данная система неравенств: $$ \begin{cases} y < x^2 + 1 \\ x^2 + (y-1)^2 < 4 \end{cases} $$ Первое неравенство $y < x^2 + 1$ задает множество точек, расположенных строго ниже параболы $y = x^2 + 1$. Вершина этой параболы находится в точке $(0, 1)$, а ее ветви направлены вверх. Поскольку неравенство строгое, граница (сама парабола) не входит в искомое множество и на графике изображается пунктирной линией.
Второе неравенство $x^2 + (y-1)^2 < 4$ задает множество точек, расположенных строго внутри окружности с центром в точке $(0, 1)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$. Поскольку неравенство строгое, граница (сама окружность) также не входит в искомое множество и изображается пунктирной линией.
Решением системы является пересечение этих двух областей. Это часть внутреннего пространства круга, которая находится ниже параболы.
Ответ: Искомое множество точек — это область внутри окружности $x^2 + (y-1)^2 = 4$, расположенная ниже параболы $y = x^2 + 1$. Границы областей (окружность и парабола) не включаются в множество.

Проведите исследование и укажите число ее решений с целыми значениями х и у
Нам необходимо найти все пары целых чисел $(x, y)$, удовлетворяющие системе неравенств. Из второго неравенства $x^2 + (y-1)^2 < 4$ следуют ограничения на возможные целые значения $x$ и $y$.
Так как $x^2 \geq 0$ и $(y-1)^2 \geq 0$, должны выполняться условия $x^2 < 4$ и $(y-1)^2 < 4$.
Для целых $x$ из $x^2 < 4$ следует, что $-2 < x < 2$, то есть $x \in \{-1, 0, 1\}$.
Для целых $y$ из $(y-1)^2 < 4$ следует, что $-2 < y-1 < 2$, или $-1 < y < 3$, то есть $y \in \{0, 1, 2\}$.
Проверим все возможные пары $(x,y)$, подставляя их в оба неравенства:
1. При $x = -1$:
- Точка $(-1, 0)$: $0 < (-1)^2 + 1$ (верно) и $(-1)^2 + (0-1)^2 < 4 \implies 2 < 4$ (верно). Является решением.
- Точка $(-1, 1)$: $1 < (-1)^2 + 1$ (верно) и $(-1)^2 + (1-1)^2 < 4 \implies 1 < 4$ (верно). Является решением.
- Точка $(-1, 2)$: $2 < (-1)^2 + 1$ (неверно, так как $2=2$). Не является решением.
2. При $x = 0$:
- Точка $(0, 0)$: $0 < 0^2 + 1$ (верно) и $0^2 + (0-1)^2 < 4 \implies 1 < 4$ (верно). Является решением.
- Точка $(0, 1)$: $1 < 0^2 + 1$ (неверно, так как $1=1$). Не является решением.
- Точка $(0, 2)$: $2 < 0^2 + 1$ (неверно). Не является решением.
3. При $x = 1$:
- Точка $(1, 0)$: $0 < 1^2 + 1$ (верно) и $1^2 + (0-1)^2 < 4 \implies 2 < 4$ (верно). Является решением.
- Точка $(1, 1)$: $1 < 1^2 + 1$ (верно) и $1^2 + (1-1)^2 < 4 \implies 1 < 4$ (верно). Является решением.
- Точка $(1, 2)$: $2 < 1^2 + 1$ (неверно, так как $2=2$). Не является решением.
Всего найдено 5 целочисленных решений: $(-1, 0), (-1, 1), (0, 0), (1, 0), (1, 1)$.
Ответ: 5.