Номер 142, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 142, страница 49.

Условие.

142. Какие из пар чисел (-4; -4), (-1; -2), (1; -1), (2; -1), (2; 1), (3; 3) являются решениями системы неравенств $\begin{cases} x \ge y, \\ x^2 - 2x \le y? \end{cases}$

143. Решением какой из систем неравенств:

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы определить, какие из предложенных пар чисел являются решениями системы неравенств, необходимо для каждой пары $(x; y)$ подставить её значения в оба неравенства системы и проверить, выполняются ли они одновременно.
Система неравенств выглядит следующим образом:

$ \begin{cases} x \ge y \\ x^2 - 2x \le y \end{cases} $

(-4; -4)
Проверим пару $(x; y) = (-4; -4)$.
1. Первое неравенство: $x \ge y \implies -4 \ge -4$. Это верное неравенство.
2. Второе неравенство: $x^2 - 2x \le y \implies (-4)^2 - 2(-4) \le -4 \implies 16 + 8 \le -4 \implies 24 \le -4$. Это неверное неравенство.
Так как второе неравенство не выполняется, пара не является решением системы.
Ответ: не является решением.

(-1; -2)
Проверим пару $(x; y) = (-1; -2)$.
1. Первое неравенство: $x \ge y \implies -1 \ge -2$. Это верное неравенство.
2. Второе неравенство: $x^2 - 2x \le y \implies (-1)^2 - 2(-1) \le -2 \implies 1 + 2 \le -2 \implies 3 \le -2$. Это неверное неравенство.
Так как второе неравенство не выполняется, пара не является решением системы.
Ответ: не является решением.

(1; -1)
Проверим пару $(x; y) = (1; -1)$.
1. Первое неравенство: $x \ge y \implies 1 \ge -1$. Это верное неравенство.
2. Второе неравенство: $x^2 - 2x \le y \implies 1^2 - 2(1) \le -1 \implies 1 - 2 \le -1 \implies -1 \le -1$. Это верное неравенство.
Так как оба неравенства выполняются, пара является решением системы.
Ответ: является решением.

(2; -1)
Проверим пару $(x; y) = (2; -1)$.
1. Первое неравенство: $x \ge y \implies 2 \ge -1$. Это верное неравенство.
2. Второе неравенство: $x^2 - 2x \le y \implies 2^2 - 2(2) \le -1 \implies 4 - 4 \le -1 \implies 0 \le -1$. Это неверное неравенство.
Так как второе неравенство не выполняется, пара не является решением системы.
Ответ: не является решением.

(2; 1)
Проверим пару $(x; y) = (2; 1)$.
1. Первое неравенство: $x \ge y \implies 2 \ge 1$. Это верное неравенство.
2. Второе неравенство: $x^2 - 2x \le y \implies 2^2 - 2(2) \le 1 \implies 4 - 4 \le 1 \implies 0 \le 1$. Это верное неравенство.
Так как оба неравенства выполняются, пара является решением системы.
Ответ: является решением.

(3; 3)
Проверим пару $(x; y) = (3; 3)$.
1. Первое неравенство: $x \ge y \implies 3 \ge 3$. Это верное неравенство.
2. Второе неравенство: $x^2 - 2x \le y \implies 3^2 - 2(3) \le 3 \implies 9 - 6 \le 3 \implies 3 \le 3$. Это верное неравенство.
Так как оба неравенства выполняются, пара является решением системы.
Ответ: является решением.

Таким образом, решениями системы неравенств являются следующие пары чисел: (1; -1), (2; 1), (3; 3).