Номер 145, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 145, страница 49.

Условие.

145. Постройте в координатной плоскости фигуру, координаты каждой точки которой являются решениями системы неравенств:

а) $ \begin{cases} y \ge 0, \\ y \le 3 - x^2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} y \le 0, \\ y \ge x^2 - 4; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4, \\ y \ge -1; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} (x-1)^2 + (y-2)^2 \le 4, \\ x \ge 1. \end{cases} $

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y \ge 0, \\ y \le 3 - x^2. \end{cases} $$ Первое неравенство $y \ge 0$ задает все точки координатной плоскости, которые лежат на оси $Ox$ и выше нее (верхняя полуплоскость).
Второе неравенство $y \le 3 - x^2$ задает все точки, которые лежат на параболе $y = 3 - x^2$ и ниже нее. Графиком функции $y = 3 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 3)$.
Решением системы является пересечение этих двух областей. Это фигура, ограниченная снизу осью абсцисс ($y=0$), а сверху — параболой $y = 3 - x^2$.
Найдем точки пересечения параболы с осью $Ox$:
$3 - x^2 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.
Таким образом, парабола пересекает ось $Ox$ в точках $(-\sqrt{3}, 0)$ и $(\sqrt{3}, 0)$.
Искомая фигура — это сегмент параболы, расположенный в верхней полуплоскости.
Ответ: Фигура, ограниченная отрезком оси $Ox$ от точки $(-\sqrt{3}, 0)$ до точки $(\sqrt{3}, 0)$ и дугой параболы $y = 3 - x^2$, соединяющей эти точки.

б)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y \le 0, \\ y \ge x^2 - 4. \end{cases} $$ Первое неравенство $y \le 0$ задает все точки координатной плоскости, которые лежат на оси $Ox$ и ниже нее (нижняя полуплоскость).
Второе неравенство $y \ge x^2 - 4$ задает все точки, которые лежат на параболе $y = x^2 - 4$ и выше нее. Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -4)$.
Решением системы является пересечение этих двух областей. Это фигура, ограниченная сверху осью абсцисс ($y=0$), а снизу — параболой $y = x^2 - 4$.
Найдем точки пересечения параболы с осью $Ox$:
$x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Таким образом, парабола пересекает ось $Ox$ в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.
Искомая фигура — это сегмент параболы, расположенный в нижней полуплоскости.
Ответ: Фигура, ограниченная отрезком оси $Ox$ от точки $(-2, 0)$ до точки $(2, 0)$ и дугой параболы $y = x^2 - 4$, соединяющей эти точки.

в)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4, \\ y \ge -1. \end{cases} $$ Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ задает круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=2$, включая его границу — окружность $x^2 + y^2 = 2^2$.
Второе неравенство $y \ge -1$ задает все точки координатной плоскости, которые лежат на прямой $y = -1$ и выше нее.
Решением системы является пересечение этих двух множеств. Это часть круга, которая отсекается снизу прямой $y = -1$.
Найдем точки пересечения окружности $x^2 + y^2 = 4$ и прямой $y = -1$:
$x^2 + (-1)^2 = 4 \implies x^2 + 1 = 4 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.
Точки пересечения: $(-\sqrt{3}, -1)$ и $(\sqrt{3}, -1)$.
Искомая фигура — это сегмент круга.
Ответ: Сегмент круга с центром в $(0, 0)$ и радиусом 2, ограниченный снизу хордой, соединяющей точки $(-\sqrt{3}, -1)$ и $(\sqrt{3}, -1)$, и расположенный выше этой хорды.

г)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} (x-1)^2 + (y-2)^2 \le 4, \\ x \ge 1. \end{cases} $$ Первое неравенство $(x-1)^2 + (y-2)^2 \le 4$ задает круг с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $R=2$, включая его границу — окружность $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 2^2$.
Второе неравенство $x \ge 1$ задает все точки координатной плоскости, которые лежат на прямой $x = 1$ и правее нее.
Решением системы является пересечение этих двух множеств. Прямая $x = 1$ проходит через центр круга $(1, 2)$, являясь его диаметром. Неравенство $x \ge 1$ отсекает ровно правую половину круга.
Таким образом, искомая фигура — это правый полукруг.
Найдем концы диаметра, лежащего на прямой $x=1$:
$(1-1)^2 + (y-2)^2 = 4 \implies (y-2)^2 = 4 \implies y-2 = \pm 2$.
Отсюда $y = 4$ или $y = 0$. Концы диаметра — точки $(1, 0)$ и $(1, 4)$.
Ответ: Правый полукруг, ограниченный диаметром, соединяющим точки $(1, 0)$ и $(1, 4)$, и правой дугой окружности $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$.