Номер 141, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Неравенства с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 141, страница 45.

Условие.

141. Изобразите в координатной плоскости решения неравенства:

а) $y \ge \sqrt{|x|}$;

б) $\frac{4}{|x|} > y$;

в) $|y| < 2x + 4$;

г) $|x| + |y| \le 5$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $y \ge \sqrt{|x|}$

Для того чтобы изобразить множество решений данного неравенства, сначала построим график его границы — функции $y = \sqrt{|x|}$.
Эта функция определена для всех действительных $x$, так как подкоренное выражение $|x|$ всегда неотрицательно.
Функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt{|-x|} = \sqrt{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).
Рассмотрим случай, когда $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$.
В силу симметрии относительно оси $Oy$, для $x < 0$ график будет зеркальным отражением графика $y = \sqrt{x}$. Это функция $y = \sqrt{-x}$.
Таким образом, граница $y = \sqrt{|x|}$ состоит из двух ветвей, выходящих из начала координат и расположенных в первой и второй координатных четвертях.
Неравенство $y \ge \sqrt{|x|}$ является нестрогим, поэтому сама граница включается в множество решений и изображается сплошной линией.
Неравенство вида $y \ge f(x)$ задает область, расположенную выше графика функции $y = f(x)$. Для проверки возьмем точку, не лежащую на границе, например, $(0, 1)$. Подставляем ее координаты в неравенство: $1 \ge \sqrt{|0|}$, что равносильно $1 \ge 0$. Это верное неравенство, значит, область, содержащая эту точку, является решением.
Следовательно, решением является область, расположенная над графиком функции $y = \sqrt{|x|}$, включая сам график.

Ответ: Решением является множество точек координатной плоскости, расположенных на и выше графика функции $y = \sqrt{|x|}$. Этот график состоит из двух ветвей: $y = \sqrt{x}$ для $x \ge 0$ и $y = \sqrt{-x}$ для $x < 0$.

---

б) $\frac{4}{|x|} > y$

Перепишем неравенство в более удобном виде: $y < \frac{4}{|x|}$.
Область определения неравенства: $|x| \ne 0$, то есть $x \ne 0$. Ось $Oy$ (прямая $x=0$) не входит в область решений.
Сначала построим график границы — функции $y = \frac{4}{|x|}$.
Эта функция является четной, так как $y(-x) = \frac{4}{|-x|} = \frac{4}{|x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси $Oy$.
При $x > 0$ функция принимает вид $y = \frac{4}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти.
В силу симметрии, при $x < 0$ график будет зеркальным отражением ветви $y = \frac{4}{x}$ относительно оси $Oy$. Это ветвь гиперболы $y = \frac{4}{-x} = -\frac{4}{x}$, расположенная во второй координатной четверти.
Неравенство $y < \frac{4}{|x|}$ является строгим, поэтому точки на самой границе не входят в множество решений. График функции $y = \frac{4}{|x|}$ изображается пунктирной линией.
Неравенство вида $y < f(x)$ задает область, расположенную ниже графика функции $y = f(x)$. Возьмем для проверки точку $(1, 1)$. Подставляем в исходное неравенство: $\frac{4}{|1|} > 1$, что равносильно $4 > 1$. Это верно. Значит, область, содержащая точку $(1,1)$, является решением.
Решением является вся область под двумя ветвями гиперболы $y = \frac{4}{|x|}$. При этом ось $Oy$ ($x=0$) исключена.

Ответ: Решением является множество точек координатной плоскости, расположенных ниже графика функции $y = \frac{4}{|x|}$. Граница (ветви гиперболы) не включается в решение. Ось $Oy$ ($x=0$) также исключена из решения.

---

в) $|y| < 2x + 4$

Неравенство с модулем $|y| < a$ равносильно двойному неравенству $-a < y < a$. Применяя это правило, получаем:
$-(2x + 4) < y < 2x + 4$.
Это система из двух неравенств: $ \begin{cases} y < 2x + 4 \\ y > -2x - 4 \end{cases} $
Также должно выполняться условие, что выражение, с которым сравнивается модуль, должно быть положительным, так как модуль всегда неотрицателен: $2x + 4 > 0 \implies 2x > -4 \implies x > -2$.
Построим графики граничных линий $y = 2x + 4$ и $y = -2x - 4$.
$y = 2x + 4$ — это прямая, проходящая через точки $(-2, 0)$ и $(0, 4)$.
$y = -2x - 4$ — это прямая, проходящая через точки $(-2, 0)$ и $(0, -4)$.
Обе прямые пересекаются в точке $(-2, 0)$.
Неравенства $y < 2x + 4$ и $y > -2x - 4$ строгие, поэтому граничные линии изображаются пунктиром.
Решением является область, заключенная между этими двумя прямыми. Условие $x > -2$ автоматически выполняется для этой области, так как она представляет собой внутреннюю часть угла с вершиной в точке $(-2, 0)$, открытого вправо.
Для проверки возьмем точку $(0, 0)$. Подставляем в исходное неравенство: $|0| < 2(0) + 4$, что равносильно $0 < 4$. Это верное неравенство, значит, область, содержащая начало координат, является решением.

Ответ: Решением является внутренняя область угла, образованного прямыми $y = 2x + 4$ и $y = -2x - 4$, с вершиной в точке $(-2, 0)$. Границы угла (сами прямые) не включаются в решение.

---

г) $|x| + |y| \le 5$

Сначала построим границу области, заданную уравнением $|x| + |y| = 5$. Для этого рассмотрим четыре случая, раскрывая модули в каждой из координатных четвертей.
1. Первая четверть ($x \ge 0, y \ge 0$): $x + y = 5 \implies y = 5 - x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 5)$ и $(5, 0)$.
2. Вторая четверть ($x < 0, y \ge 0$): $-x + y = 5 \implies y = x + 5$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-5, 0)$ и $(0, 5)$.
3. Третья четверть ($x < 0, y < 0$): $-x - y = 5 \implies y = -x - 5$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, -5)$ и $(-5, 0)$.
4. Четвертая четверть ($x \ge 0, y < 0$): $x - y = 5 \implies y = x - 5$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(5, 0)$ и $(0, -5)$.
Соединив эти четыре отрезка, мы получим квадрат с вершинами в точках $(5, 0)$, $(0, 5)$, $(-5, 0)$ и $(0, -5)$.
Неравенство $|x| + |y| \le 5$ является нестрогим, поэтому граница (квадрат) включается в множество решений и изображается сплошной линией.
Чтобы определить, какую область представляет неравенство (внутри или снаружи квадрата), возьмем пробную точку. Удобнее всего взять начало координат $(0, 0)$.
Подставляем в неравенство: $|0| + |0| \le 5$, что равносильно $0 \le 5$. Это верное неравенство.
Следовательно, решением является область внутри квадрата, включая его стороны.

Ответ: Решением является замкнутый квадрат (включая его стороны и внутреннюю область) с вершинами в точках $(5, 0)$, $(0, 5)$, $(-5, 0)$ и $(0, -5)$.