Номер 134, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Неравенства с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 134, страница 44.

Условие.

134. Изобразите в координатной плоскости решения неравенства:

a) $x^2 + y^2 \leq 4;$

б) $(x+4)^2 + (y-2)^2 > 16;

в) $y < 2x - 3;$

г) $y \geq \sqrt{x} + 1;$

д) $x^2 - y - 4 \leq 0;$

е) $|x| < y.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Неравенство $x^2+y^2 \le 4$ задает множество точек на координатной плоскости. Сначала рассмотрим граничное уравнение $x^2+y^2 = 4$. Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$. Знак неравенства "меньше или равно" ($\le$) означает, что в решение входят как точки, лежащие на самой окружности, так и точки внутри нее. Поэтому граница (окружность) изображается сплошной линией, а область внутри нее заштриховывается. Для проверки можно взять точку внутри окружности, например, начало координат $(0, 0)$, и подставить в исходное неравенство: $0^2 + 0^2 \le 4$, что дает $0 \le 4$. Это верное неравенство, значит, область внутри окружности является решением.
Ответ: Решением является замкнутый круг (окружность и все точки внутри нее) с центром в начале координат и радиусом 2.

б) Рассмотрим неравенство $(x+4)^2+(y-2)^2 > 16$. Границей области является окружность, заданная уравнением $(x+4)^2+(y-2)^2 = 16$. Это уравнение окружности в стандартном виде $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$, где $(h, k)$ — центр, а $r$ — радиус. В данном случае центр находится в точке $(-4, 2)$, а радиус равен $r = \sqrt{16} = 4$. Знак неравенства "больше" ($>$) является строгим, поэтому точки на самой окружности не входят в решение. Границу следует изображать пунктирной линией. Неравенство означает, что квадрат расстояния от любой точки решения $(x, y)$ до центра $(-4, 2)$ должен быть больше 16. Следовательно, решением является множество всех точек, лежащих вне этой окружности.
Ответ: Решением является внешняя часть плоскости по отношению к окружности с центром в точке $(-4, 2)$ и радиусом 4. Сама окружность в решение не входит.

в) Неравенство $y < 2x - 3$ задает полуплоскость. Границей этой области является прямая $y = 2x - 3$. Это прямая с угловым коэффициентом 2 и пересекающая ось ординат в точке $(0, -3)$. Поскольку неравенство строгое ($<$), точки на самой прямой не являются решением, и прямую следует изображать пунктирной линией. Неравенство $y < 2x - 3$ означает, что для каждого значения $x$ искомые точки $(x, y)$ должны иметь ординату $y$ меньшую, чем ордината соответствующей точки на прямой. Это соответствует полуплоскости, расположенной ниже прямой $y = 2x - 3$. Для проверки можно подставить координаты точки $(0, 0)$: $0 < 2 \cdot 0 - 3$, или $0 < -3$, что является ложным. Это подтверждает, что начало координат не входит в область решения, и решением является полуплоскость, не содержащая точку $(0, 0)$.
Ответ: Решением является открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y=2x-3$.

г) Рассмотрим неравенство $y \ge \sqrt{x} + 1$. Прежде всего, отметим область допустимых значений для $x$: поскольку подкоренное выражение не может быть отрицательным, $x \ge 0$. Границей области является кривая, заданная уравнением $y = \sqrt{x} + 1$. Это график стандартной функции $y=\sqrt{x}$, смещенный на 1 единицу вверх. График начинается в точке $(0, 1)$ и монотонно возрастает. Знак неравенства "больше или равно" ($\ge$) означает, что точки на самой кривой входят в решение, поэтому ее следует изображать сплошной линией. Неравенство $y \ge \sqrt{x} + 1$ выполняется для всех точек, которые лежат на кривой или выше нее, при условии $x \ge 0$.
Ответ: Решением является множество точек $(x, y)$, для которых $x \ge 0$ и ординаты которых не меньше, чем у точек на кривой $y = \sqrt{x} + 1$. Это область над графиком функции $y = \sqrt{x} + 1$, включая сам график.

д) Преобразуем неравенство $x^2 - y - 4 \le 0$, выразив $y$: $y \ge x^2 - 4$. Границей области является кривая $y = x^2 - 4$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках, где $x^2 - 4 = 0$, то есть в точках $x=2$ и $x=-2$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки на самой параболе являются частью решения, и ее следует изображать сплошной линией. Неравенство $y \ge x^2 - 4$ выполняется для всех точек, ордината которых больше или равна ординате соответствующей точки на параболе. Это область, расположенная "внутри" или выше параболы.
Ответ: Решением является множество точек на параболе $y = x^2 - 4$ и всех точек, расположенных выше нее.

е) Неравенство $|x| < y$ можно переписать как $y > |x|$. Границей области является график функции $y = |x|$. Этот график состоит из двух лучей: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Эти лучи образуют "угол" с вершиной в начале координат. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки на границе ($y=|x|$) не входят в решение, и ее следует изображать пунктирной линией. Неравенство $y > |x|$ выполняется для всех точек, которые лежат выше графика функции $y=|x|$. Это область внутри "угла", ограниченная снизу лучами $y=x$ и $y=-x$.
Ответ: Решением является множество точек, расположенных строго выше графика функции $y=|x|$.