Номер 130, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Неравенства с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 130, страница 43.

Условие.

130. Установите, сколько пар целых чисел являются решениями неравенства $x^2+y^2 \leq 2$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Нам необходимо найти количество пар целых чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют неравенству $x^2 + y^2 \le 2$.

Поскольку $x$ и $y$ являются целыми числами, их квадраты $x^2$ и $y^2$ также являются неотрицательными целыми числами (например, 0, 1, 4, 9, и так далее).

Из условия $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$ и из самого неравенства $x^2 + y^2 \le 2$ следует, что ни $x^2$, ни $y^2$ не могут превышать 2. То есть, $x^2 \le 2$ и $y^2 \le 2$.

Найдем все возможные целые значения для $x$, для которых выполняется условие $x^2 \le 2$. Такими значениями для $x^2$ могут быть только 0 и 1.

• Если $x^2 = 0$, то $x = 0$.
• Если $x^2 = 1$, то $x = 1$ или $x = -1$.

Следовательно, переменная $x$ может принимать только значения из множества $\{-1, 0, 1\}$. Проверим каждый из этих случаев.

Случай 1: $x = 0$
Подставим $x = 0$ в исходное неравенство:$0^2 + y^2 \le 2$
$y^2 \le 2$
Поскольку $y$ — целое число, возможные значения для $y^2$ — это 0 и 1.

• Если $y^2 = 0$, то $y = 0$. Получаем пару (0, 0).
• Если $y^2 = 1$, то $y = 1$ или $y = -1$. Получаем пары (0, 1) и (0, -1).

В этом случае мы нашли 3 пары решений.

Случай 2: $x = 1$
Подставим $x = 1$ в неравенство:$1^2 + y^2 \le 2$
$1 + y^2 \le 2$
$y^2 \le 1$
Возможные значения для $y^2$ — это 0 и 1.

• Если $y^2 = 0$, то $y = 0$. Получаем пару (1, 0).
• Если $y^2 = 1$, то $y = 1$ или $y = -1$. Получаем пары (1, 1) и (1, -1).

В этом случае мы нашли еще 3 пары решений.

Случай 3: $x = -1$
Подставим $x = -1$ в неравенство:$(-1)^2 + y^2 \le 2$
$1 + y^2 \le 2$
$y^2 \le 1$
Этот случай аналогичен предыдущему. Возможные значения для $y$ — это 0, 1 и -1.

• Если $y = 0$, получаем пару (-1, 0).
• Если $y = 1$, получаем пару (-1, 1).
• Если $y = -1$, получаем пару (-1, -1).

И в этом случае мы нашли 3 пары решений.

Теперь суммируем количество пар из всех случаев. Все полученные пары различны:(0, 0), (0, 1), (0, -1), (1, 0), (1, 1), (1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (-1, -1).Общее количество пар равно $3 + 3 + 3 = 9$.

Ответ: 9