Номер 133, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Неравенства с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 133, страница 44.

Условие.

133. Запишите неравенство, множество решений которого показано на рисунке 18.

а)

$y \ge |x|$

б)

$0 \le y \le |x^2 - 2|$

в)

$-2 \le xy \le 0$

Рисунок 18

Решение.

Решение 2 (rus).

а) На рисунке показана заштрихованная область, которая находится выше графика функции $y = |x|$. Граница области, то есть сам график $y = |x|$, изображена пунктирной линией. Это означает, что точки, лежащие непосредственно на линии, не являются частью решения. Таким образом, для любой точки $(x, y)$ из заштрихованной области должно выполняться строгое неравенство, где значение $y$ больше соответствующего значения на границе. Это приводит к неравенству $y > |x|$.
Для проверки можно взять произвольную точку из заштрихованной области, например, точку $(0, 1)$. Подставив ее координаты в полученное неравенство, получаем $1 > |0|$, или $1 > 0$, что является верным утверждением.
Ответ: $y > |x|$.

б) Заштрихованная область на рисунке ограничена сверху графиком функции $y = |x^2 - 2|$ и снизу осью абсцисс ($y=0$). Обе границы изображены сплошными линиями, что указывает на то, что точки на границах включаются в множество решений. Следовательно, неравенства будут нестрогими.
Условие, что область находится ниже или на графике $y = |x^2 - 2|$, записывается как $y \le |x^2 - 2|$.
Условие, что область находится выше или на оси абсцисс, записывается как $y \ge 0$.
Оба этих условия должны выполняться одновременно, что приводит к системе неравенств. Эту систему можно также записать в виде двойного неравенства.
Проверим на контрольной точке $(0, 1)$ из заштрихованной области:
1) $1 \le |0^2 - 2| \implies 1 \le 2$ (верно).
2) $1 \ge 0$ (верно).
Оба условия выполнены.
Ответ: $\begin{cases} y \le |x^2 - 2| \\ y \ge 0 \end{cases}$ (или $0 \le y \le |x^2 - 2|$).

в) На рисунке изображена область, ограниченная гиперболой $y = -\frac{2}{x}$ и осями координат ($x=0$, $y=0$). Все границы сплошные, поэтому неравенства будут нестрогими. Область состоит из двух частей.
1. Во второй координатной четверти ($x < 0, y > 0$): область находится между осью $x$ и гиперболой, то есть $0 \le y \le -\frac{2}{x}$. Умножим правую часть неравенства ($y \le -\frac{2}{x}$) на $x$. Так как $x < 0$, знак неравенства меняется на противоположный: $xy \ge -2$. Из левой части ($0 \le y$) при $x < 0$ следует $xy \le 0$. Итого для этой части: $-2 \le xy \le 0$.
2. В четвертой координатной четверти ($x > 0, y < 0$): область находится между гиперболой и осью $x$, то есть $-\frac{2}{x} \le y \le 0$. Умножим левую часть неравенства ($-\frac{2}{x} \le y$) на $x$. Так как $x > 0$, знак неравенства не меняется: $-2 \le xy$. Из правой части ($y \le 0$) при $x > 0$ следует $xy \le 0$. Итого для этой части: $-2 \le xy \le 0$.
Так как для обеих частей заштрихованной области получилось одно и то же неравенство, оно и является искомым.
Ответ: $-2 \le xy \le 0$.