Номер 131, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Неравенства с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 131, страница 43.

Условие.

131. Установите, в каких координатных четвертях содержится множество точек, координаты которых являются решениями неравенства:

а) $(x-3)^2 + y^2 \le 9$

б) $x^2 + (y+2)^2 \le 4$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Неравенство $(x - 3)^2 + y^2 \le 9$ задает множество точек, образующих замкнутый круг. Стандартное уравнение окружности, которая является границей этого круга, имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

Для данного неравенства центр круга находится в точке с координатами $(3, 0)$, а его радиус равен $R = \sqrt{9} = 3$.

Центр круга $(3, 0)$ расположен на положительной части оси абсцисс (оси Ox). Так как расстояние от центра до оси ординат (оси Oy) равно 3 и радиус также равен 3, круг касается оси Oy в точке $(0, 0)$. Самая левая точка круга имеет координату $x = 3 - 3 = 0$. Все остальные точки множества имеют координату $x > 0$. Следовательно, все множество точек расположено в правой полуплоскости ($x \ge 0$), за исключением точки касания в начале координат.

Поскольку круг симметричен относительно оси Ox, его часть, где $y>0$, находится в I координатной четверти, а часть, где $y<0$, — в IV координатной четверти. Таким образом, множество точек содержится в I и IV четвертях, а также на их границах (положительная часть оси Ox и точка $(0,0)$).

Ответ: I и IV четверти.

б) Неравенство $x^2 + (y + 2)^2 \le 4$ также задает замкнутый круг. Его можно переписать в стандартном виде как $(x - 0)^2 + (y - (-2))^2 \le 2^2$.

Из этого уравнения видно, что центр круга находится в точке с координатами $(0, -2)$, а его радиус равен $R = \sqrt{4} = 2$.

Центр круга $(0, -2)$ расположен на отрицательной части оси ординат (оси Oy). Так как расстояние от центра до оси абсцисс (оси Ox) равно 2 и радиус также равен 2, круг касается оси Ox в точке $(0, 0)$. Самая верхняя точка круга имеет координату $y = -2 + 2 = 0$. Все остальные точки множества имеют координату $y < 0$. Следовательно, все множество точек расположено в нижней полуплоскости ($y \le 0$), за исключением точки касания в начале координат.

Поскольку круг симметричен относительно оси Oy, его часть, где $x<0$, находится в III координатной четверти, а часть, где $x>0$, — в IV координатной четверти. Таким образом, множество точек содержится в III и IV четвертях, а также на их границах (отрицательная часть оси Oy и точка $(0,0)$).

Ответ: III и IV четверти.