Номер 139, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Неравенства с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 139, страница 45.

Условие.

139. Для школьной библиотеки купили книги по цене 2000 тенге и 1600 тенге, всего на сумму не более 100 000 тенге. Проведите исследование и установите, какое наибольшее количество этих книг могли купить, если известно, что купили:
а) наибольшее количество более дорогих книг;
б) наибольшее количество более дешевых книг;
в) одинаковое количество этих книг;
г) книги на одинаковую сумму.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество купленных книг по цене 2000 тенге, а $y$ — количество книг по цене 1600 тенге. Поскольку книги можно купить только в целом количестве, $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами.

Общая стоимость покупки не должна превышать 100 000 тенге, что можно выразить неравенством:

$2000x + 1600y \le 100000$

Для удобства вычислений разделим все части неравенства на 400 (наибольший общий делитель чисел 2000, 1600 и 100000):

$5x + 4y \le 250$

Цель задачи — найти наибольшее общее количество книг, то есть максимизировать сумму $K = x + y$, при различных дополнительных условиях.

а) По условию, купили наибольшее возможное количество более дорогих книг. Это означает, что нам нужно найти максимальное значение $x$, удовлетворяющее неравенству $5x + 4y \le 250$. Чтобы максимизировать $x$, необходимо минимизировать $y$. Наименьшее возможное значение для $y$ равно 0.

Подставим $y=0$ в неравенство:

$5x + 4(0) \le 250 \implies 5x \le 250 \implies x \le 50$

Максимальное целое значение для $x$ равно 50. Теперь, при $x=50$, найдем возможное значение $y$:

$5(50) + 4y \le 250 \implies 250 + 4y \le 250 \implies 4y \le 0$, что означает $y=0$.

Таким образом, было куплено 50 дорогих книг и 0 дешевых. Общее количество книг: $K = 50 + 0 = 50$.

Проверка стоимости: $50 \times 2000 + 0 \times 1600 = 100000$ тенге. Это соответствует условию.

Ответ: 50 книг.

б) По условию, купили наибольшее возможное количество более дешевых книг. Это означает, что нам нужно найти максимальное значение $y$. Чтобы максимизировать $y$, необходимо минимизировать $x$. Наименьшее возможное значение для $x$ равно 0.

Подставим $x=0$ в неравенство:

$5(0) + 4y \le 250 \implies 4y \le 250 \implies y \le 62.5$

Максимальное целое значение для $y$ равно 62. Теперь, при $y=62$, найдем возможное значение $x$:

$5x + 4(62) \le 250 \implies 5x + 248 \le 250 \implies 5x \le 2 \implies x \le 0.4$, что означает $x=0$.

Таким образом, было куплено 0 дорогих книг и 62 дешевые. Общее количество книг: $K = 0 + 62 = 62$.

Проверка стоимости: $0 \times 2000 + 62 \times 1600 = 99200$ тенге. Это соответствует условию.

Ответ: 62 книги.

в) По условию, купили одинаковое количество этих книг, то есть $x = y$.

Подставим это условие в основное неравенство:

$5x + 4x \le 250 \implies 9x \le 250 \implies x \le \frac{250}{9} \approx 27.77$

Чтобы общее количество книг $K = x + y = 2x$ было наибольшим, нужно взять наибольшее возможное целое значение для $x$, то есть $x=27$.

Тогда $y$ также равно 27. Общее количество книг: $K = 27 + 27 = 54$.

Проверка стоимости: $27 \times 2000 + 27 \times 1600 = 27 \times 3600 = 97200$ тенге. Это соответствует условию.

Ответ: 54 книги.

г) По условию, книги купили на одинаковую сумму. Это означает, что стоимость дорогих книг равна стоимости дешевых:

$2000x = 1600y$

Упростим это равенство, разделив обе части на 400:

$5x = 4y$

Из этого соотношения следует, что $x$ должен быть кратен 4, а $y$ — кратен 5. Можно записать: $x = 4k$ и $y = 5k$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Мы хотим найти наибольшее количество книг $K = x + y = 4k + 5k = 9k$. Для этого нужно найти максимальное значение $k$.

Подставим $x = 4k$ и $y = 5k$ в основное неравенство $5x + 4y \le 250$:

$5(4k) + 4(5k) \le 250 \implies 20k + 20k \le 250 \implies 40k \le 250 \implies k \le 6.25$

Наибольшее целое значение для $k$ равно 6.

При $k=6$ находим количество книг:

$x = 4k = 4 \times 6 = 24$

$y = 5k = 5 \times 6 = 30$

Общее количество книг: $K = 24 + 30 = 54$.

Проверка стоимости: $24 \times 2000 + 30 \times 1600 = 48000 + 48000 = 96000$ тенге. Это соответствует условию.

Ответ: 54 книги.