Номер 158, страница 51 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 158, страница 51.

Условие.

158. Моторная лодка преодолела 100 м по течению реки не более чем за 5,4 с, а против течения реки – не более чем за 7,2 с. Установите, какой могла быть (м/с) собственная скорость лодки.

Решение.

Решение 2 (rus).

Обозначим собственную скорость лодки как $v_л$ (в м/с), а скорость течения реки как $v_т$ (в м/с). По физическому смыслу задачи, $v_л > v_т \ge 0$, чтобы лодка могла двигаться против течения.

Скорость лодки при движении по течению реки составляет $v_л + v_т$, а при движении против течения — $v_л - v_т$.

Расстояние, которое лодка преодолевает в обоих направлениях, равно $S = 100$ м.

Согласно условию, время движения по течению ($t_{по}$) не более 5,4 с, а время движения против течения ($t_{против}$) не более 7,2 с. Запишем эти условия в виде неравенств, используя формулу времени $t = S/v$:

$t_{по} = \frac{100}{v_л + v_т} \le 5,4$

$t_{против} = \frac{100}{v_л - v_т} \le 7,2$

Из этих неравенств можно выразить ограничения на скорости. Так как все величины ($v_л+v_т$, $v_л-v_т$, 5.4, 7.2) положительные, мы можем преобразовать неравенства следующим образом:

$v_л + v_т \ge \frac{100}{5,4} = \frac{1000}{54} = \frac{500}{27}$

$v_л - v_т \ge \frac{100}{7,2} = \frac{1000}{72} = \frac{125}{9}$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных неравенств относительно $v_л$ и $v_т$:

$\begin{cases} v_л + v_т \ge \frac{500}{27} \\ v_л - v_т \ge \frac{125}{9} \end{cases}$

Наша цель — найти все возможные значения $v_л$. Для этого можно сложить два неравенства системы, чтобы исключить $v_т$:

$(v_л + v_т) + (v_л - v_т) \ge \frac{500}{27} + \frac{125}{9}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 27:

$2v_л \ge \frac{500}{27} + \frac{3 \cdot 125}{27} = \frac{500 + 375}{27}$

$2v_л \ge \frac{875}{27}$

Разделив обе части на 2, найдем нижнюю границу для собственной скорости лодки:

$v_л \ge \frac{875}{54}$

Это условие является необходимым. Теперь проверим, является ли оно достаточным. То есть, для любого $v_л$, удовлетворяющего этому неравенству, можно ли найти такое значение $v_т \ge 0$, чтобы выполнялись исходные условия. Из системы неравенств можно выразить $v_т$:

$v_т \ge \frac{500}{27} - v_л$

$v_т \le v_л - \frac{125}{9}$

С учетом $v_т \ge 0$, для существования решения необходимо, чтобы интервал для $v_т$ был непустым:

$\max(0, \frac{500}{27} - v_л) \le v_л - \frac{125}{9}$

Это двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств:

1) $0 \le v_л - \frac{125}{9} \implies v_л \ge \frac{125}{9} = \frac{750}{54}$

2) $\frac{500}{27} - v_л \le v_л - \frac{125}{9} \implies 2v_л \ge \frac{500}{27} + \frac{125}{9} \implies 2v_л \ge \frac{875}{27} \implies v_л \ge \frac{875}{54}$

Поскольку $\frac{875}{54} > \frac{750}{54}$, второе условие является более строгим и включает в себя первое. Следовательно, для любого значения $v_л \ge \frac{875}{54}$ существует по крайней мере одно допустимое значение $v_т$. Это означает, что верхнего предела для скорости лодки нет.

Представим результат в виде смешанной дроби:

$\frac{875}{54} = 16 \frac{11}{54}$

Таким образом, собственная скорость лодки может быть любым числом, не меньшим чем $16 \frac{11}{54}$ м/с.

Ответ: собственная скорость лодки могла быть не менее $16 \frac{11}{54}$ м/с, то есть $v_л \in [16 \frac{11}{54}, +\infty)$.