Номер 160, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 160, страница 52.

Условие.

160. Девятиклассники посещают факультатив по математике, причем девочек больше. Если бы мальчиков было вдвое больше, то всего членов факультатива было бы более 12, а если бы девочек было вдвое больше, то всего их было бы менее 15 человек. Сколько девочек и сколько мальчиков посещают факультатив по математике?

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $g$ — количество девочек, а $b$ — количество мальчиков, посещающих факультатив.

Согласно условиям задачи, мы можем составить систему неравенств, учитывая, что $g$ и $b$ — целые положительные числа:

1. Девочек больше, чем мальчиков: $g > b$.

2. Если бы мальчиков было вдвое больше, то всего членов факультатива было бы более 12: $g + 2b > 12$.

3. Если бы девочек было вдвое больше, то всего их было бы менее 15: $2g + b < 15$.

Из третьего неравенства выразим $g$: $2g < 15 - b$, что означает $g < \frac{15 - b}{2}$.

Из второго неравенства выразим $g$: $g > 12 - 2b$.

Таким образом, для $g$ должны одновременно выполняться три неравенства: $g > b$, $g > 12 - 2b$ и $g < \frac{15 - b}{2}$.

Из этого следует, что нижняя граница для $g$ должна быть меньше верхней границы. Сравним границы между собой:

$b < \frac{15 - b}{2} \implies 2b < 15 - b \implies 3b < 15 \implies b < 5$.

$12 - 2b < \frac{15 - b}{2} \implies 2(12 - 2b) < 15 - b \implies 24 - 4b < 15 - b \implies 9 < 3b \implies b > 3$.

Мы получили, что количество мальчиков $b$ должно удовлетворять двойному неравенству $3 < b < 5$. Поскольку $b$ — это целое число, единственное возможное значение — это $b = 4$.

Теперь, зная, что $b = 4$, найдем возможное значение для $g$. Подставим $b=4$ в неравенства для $g$:

$g > 4$

$g > 12 - 2 \cdot 4 \implies g > 12 - 8 \implies g > 4$

$g < \frac{15 - 4}{2} \implies g < \frac{11}{2} \implies g < 5.5$

Объединяя эти условия, получаем $4 < g < 5.5$. Так как $g$ — целое число, единственное возможное значение — это $g = 5$.

Проведем проверку найденных значений $g=5$ и $b=4$, подставив их в исходные условия:

1. Девочек (5) больше, чем мальчиков (4). Условие $5 > 4$ выполнено.

2. Если бы мальчиков было вдвое больше, общее число учеников стало бы $5 + 2 \cdot 4 = 13$. Это больше 12. Условие $13 > 12$ выполнено.

3. Если бы девочек было вдвое больше, общее число учеников стало бы $2 \cdot 5 + 4 = 14$. Это меньше 15. Условие $14 < 15$ выполнено.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: Факультатив по математике посещают 5 девочек и 4 мальчика.