Номер 165, страница 53 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 165, страница 53.

Условие.

165. Найдите площадь фигуры, координаты каждой точки которой являются решениями системы неравенств:

а) $ \begin{cases} y \le 4, \\ y \ge |2x - 4|; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} xy \le 0, \\ |y - x| \le 5. \end{cases} $

Решение.

Решение 2 (rus).

а)Фигура задается системой неравенств $\begin{cases} y \le 4, \\ y \ge |2x - 4| \end{cases}$.Первое неравенство $y \le 4$ задает полуплоскость, расположенную ниже прямой $y=4$ (включая саму прямую).Второе неравенство $y \ge |2x - 4|$ задает область, расположенную выше графика функции $y = |2x-4|$ (включая сам график).График функции $y=|2x-4|$ представляет собой фигуру, состоящую из двух лучей, исходящих из одной точки (вершины). Найдем координаты вершины, решив уравнение $2x-4=0$, откуда $x=2$. При $x=2$, $y=|2 \cdot 2 - 4| = 0$. Таким образом, вершина находится в точке $(2, 0)$.Искомая фигура — это треугольник, ограниченный сверху прямой $y=4$, а снизу — лучами графика $y=|2x-4|$.Найдем вершины этого треугольника. Одна вершина уже найдена — $(2,0)$.Две другие вершины являются точками пересечения прямой $y=4$ и графика $y=|2x-4|$. Для их нахождения решим уравнение $|2x-4|=4$.Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:1) $2x-4 = 4 \implies 2x = 8 \implies x = 4$. Координаты вершины: $(4,4)$.2) $2x-4 = -4 \implies 2x = 0 \implies x = 0$. Координаты вершины: $(0,4)$.Таким образом, мы имеем треугольник с вершинами в точках A(0, 4), B(4, 4) и C(2, 0).Основание треугольника — это отрезок AB, лежащий на прямой $y=4$. Длина основания $a = 4 - 0 = 4$.Высота треугольника, опущенная из вершины C на основание AB, равна разности ординат прямой $y=4$ и точки C: $h = 4 - 0 = 4$.Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} a h$.$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.
Ответ: 8

б)Фигура задается системой неравенств $\begin{cases} xy \le 0, \\ |y - x| \le 5 \end{cases}$.Первое неравенство $xy \le 0$ выполняется, когда переменные $x$ и $y$ имеют разные знаки или хотя бы одна из них равна нулю. Геометрически это соответствует второму и четвертому координатным квадрантам, включая оси координат.Второе неравенство $|y - x| \le 5$ равносильно двойному неравенству $-5 \le y - x \le 5$, которое можно переписать в виде $x - 5 \le y \le x + 5$. Эта система неравенств задает полосу между двумя параллельными прямыми $y = x - 5$ и $y = x + 5$, включая сами прямые.Искомая фигура является пересечением этих двух областей: части полосы, которая лежит во втором и четвертом квадрантах. Фигура состоит из двух частей, симметричных относительно начала координат.1. Рассмотрим часть фигуры во втором квадранте, где $x \le 0$ и $y \ge 0$. Эта область ограничена осями координат ($x=0, y=0$) и прямой $y = x + 5$ (так как вторая прямая $y=x-5$ лежит ниже оси абсцисс в этом квадранте и не ограничивает фигуру). Вершинами этой части являются точки пересечения этих прямых: - Пересечение $x=0$ и $y=0$: точка $(0,0)$. - Пересечение $y=x+5$ и оси OY ($x=0$): $y=0+5=5$, точка $(0,5)$. - Пересечение $y=x+5$ и оси OX ($y=0$): $0=x+5 \implies x=-5$, точка $(-5,0)$. Получился прямоугольный треугольник с катетами длиной 5 и 5. Его площадь $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12.5$.2. Рассмотрим часть фигуры в четвертом квадранте, где $x \ge 0$ и $y \le 0$. Эта область ограничена осями координат ($x=0, y=0$) и прямой $y = x - 5$ (так как вторая прямая $y=x+5$ лежит выше оси абсцисс в этом квадранте и не ограничивает фигуру). Вершинами этой части являются: - Пересечение $x=0$ и $y=0$: точка $(0,0)$. - Пересечение $y=x-5$ и оси OY ($x=0$): $y=0-5=-5$, точка $(0,-5)$. - Пересечение $y=x-5$ и оси OX ($y=0$): $0=x-5 \implies x=5$, точка $(5,0)$. Получился прямоугольный треугольник с катетами длиной 5 и 5. Его площадь $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12.5$.Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих двух треугольников: $S = S_1 + S_2 = 12.5 + 12.5 = 25$.
Ответ: 25