Номер 166, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 166, страница 54.

Условие.

166. Найдите двухзначное число:

а) прибавив к которому сумму его цифр, получим 60;

б) равное сумме числа его десятков и квадрата числа единиц.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — число десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — число единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$). Сумма его цифр равна $a + b$.
По условию задачи, если к числу прибавить сумму его цифр, получится 60. Составим уравнение:
$(10a + b) + (a + b) = 60$
$11a + 2b = 60$
Выразим $b$ через $a$:
$2b = 60 - 11a$
$b = \frac{60 - 11a}{2}$
Так как $b$ должно быть целым числом, то выражение $60 - 11a$ должно быть четным. Поскольку 60 — четное число, то и $11a$ должно быть четным. Это возможно только если $a$ — четное число.
Переберем возможные четные значения для $a$, учитывая, что $b$ должно быть от 0 до 9.
1. Если $a = 2$, то $b = \frac{60 - 11 \cdot 2}{2} = \frac{60 - 22}{2} = \frac{38}{2} = 19$. Это значение не является цифрой ($19 > 9$).
2. Если $a = 4$, то $b = \frac{60 - 11 \cdot 4}{2} = \frac{60 - 44}{2} = \frac{16}{2} = 8$. Это значение является цифрой ($0 \le 8 \le 9$).
Искомое число в этом случае: $10 \cdot 4 + 8 = 48$.
Проверка: $48 + (4+8) = 48 + 12 = 60$. Условие выполняется.
3. Если $a = 6$, то $b = \frac{60 - 11 \cdot 6}{2} = \frac{60 - 66}{2} = \frac{-6}{2} = -3$. Это значение не является цифрой ($-3 < 0$).
При дальнейших увеличениях $a$, значение $b$ будет становиться еще меньше, а значит отрицательным.
Следовательно, единственное подходящее число — 48.
Ответ: 48.

б) Пусть искомое двузначное число — это $10a + b$, где $a$ — число десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — число единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).
По условию задачи, число равно сумме числа его десятков и квадрата числа единиц. Составим уравнение:
$10a + b = a + b^2$
$10a - a = b^2 - b$
$9a = b(b - 1)$
Из этого уравнения следует, что произведение $b(b-1)$ должно делиться на 9. Переберем все возможные значения $b$ от 0 до 9.
1. Если $b = 0$, то $9a = 0 \cdot (0-1) = 0 \implies a = 0$. Число 00 не является двузначным.
2. Если $b = 1$, то $9a = 1 \cdot (1-1) = 0 \implies a = 0$. Число 01 не является двузначным.
3. Если $b = 2$, то $9a = 2 \cdot (2-1) = 2 \implies a = 2/9$. Не является целым числом.
4. Если $b = 3$, то $9a = 3 \cdot (3-1) = 6 \implies a = 6/9$. Не является целым числом.
5. Если $b = 4$, то $9a = 4 \cdot (4-1) = 12 \implies a = 12/9$. Не является целым числом.
6. Если $b = 5$, то $9a = 5 \cdot (5-1) = 20 \implies a = 20/9$. Не является целым числом.
7. Если $b = 6$, то $9a = 6 \cdot (6-1) = 30 \implies a = 30/9$. Не является целым числом.
8. Если $b = 7$, то $9a = 7 \cdot (7-1) = 42 \implies a = 42/9$. Не является целым числом.
9. Если $b = 8$, то $9a = 8 \cdot (8-1) = 56 \implies a = 56/9$. Не является целым числом.
10. Если $b = 9$, то $9a = 9 \cdot (9-1) = 9 \cdot 8 = 72 \implies a = \frac{72}{9} = 8$. Значение $a = 8$ является цифрой ($1 \le 8 \le 9$).
Искомое число в этом случае: $10 \cdot 8 + 9 = 89$.
Проверка: число десятков — 8, квадрат числа единиц — $9^2 = 81$. Их сумма $8 + 81 = 89$. Условие выполняется.
Следовательно, единственное подходящее число — 89.
Ответ: 89.