Номер 168, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 168, страница 54.

Условие.

168. Решите систему уравнений $ \begin{cases} x + y = 10, \\ x^2 + y^2 = 68 \end{cases} $ (задача из трактата «Арифметика» древнегреческого математика Диофанта).

Решение.

Решение 2 (rus).

168. Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 10, \\ x^2 + y^2 = 68 \end{cases} $

Для решения этой системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

1. Из первого уравнения системы выразим одну переменную через другую, например, $y$ через $x$:

$y = 10 - x$

2. Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы вместо $y$:

$x^2 + (10 - x)^2 = 68$

3. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (100 - 20x + x^2) = 68$

4. Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 20x + 100 - 68 = 0$

$2x^2 - 20x + 32 = 0$

5. Упростим уравнение, разделив обе его части на 2:

$x^2 - 10x + 16 = 0$

6. Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать через дискриминант или по теореме Виета.

Решение по теореме Виета:

Нам нужно найти два числа, сумма которых равна $10$, а произведение равно $16$. Эти числа — $2$ и $8$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 8$.

Решение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{36}}{2} = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{36}}{2} = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$

7. Мы нашли возможные значения для $x$. Теперь найдем соответствующие значения для $y$, подставив каждое значение $x$ в выражение $y = 10 - x$:

Если $x = 8$, то $y = 10 - 8 = 2$.

Если $x = 2$, то $y = 10 - 2 = 8$.

Таким образом, мы получили две пары чисел, которые являются решениями системы.

Ответ: $(2; 8)$, $(8; 2)$.