Номер 174, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 174, страница 55.

Условие.

174. Дан треугольник $ABC$, в котором $AC = 9$ см, $BC = 12$ см, а медианы $AM$ и $BN$ перпендикулярны. Найдите $AB$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть медианы $AM$ и $BN$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. По свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, $AO : OM = 2:1$ и $BO : ON = 2:1$. Также, по определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, а точка $N$ — серединой стороны $AC$.

Найдем длины отрезков $AN$ и $BM$:

$AN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4,5$ см.

$BM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

По условию задачи медианы $AM$ и $BN$ перпендикулярны, то есть $AM \perp BN$. Это означает, что угол $\angle AOB = 90^\circ$, а также углы $\angle AON$ и $\angle BOM$ являются прямыми. Следовательно, треугольники $\triangle AOB$, $\triangle AON$ и $\triangle BOM$ — прямоугольные.

Введем переменные. Пусть длина отрезка $OM = x$, тогда $AO = 2x$. Пусть длина отрезка $ON = y$, тогда $BO = 2y$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AON$. По теореме Пифагора:

$AN^2 = AO^2 + ON^2$

$4,5^2 = (2x)^2 + y^2$

$20,25 = 4x^2 + y^2$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BOM$. По теореме Пифагора:

$BM^2 = BO^2 + OM^2$

$6^2 = (2y)^2 + x^2$

$36 = 4y^2 + x^2$

Мы получили систему двух уравнений:

$\begin{cases} 4x^2 + y^2 = 20,25 \\ x^2 + 4y^2 = 36 \end{cases}$

Сложим левые и правые части этих уравнений:

$(4x^2 + y^2) + (x^2 + 4y^2) = 20,25 + 36$

$5x^2 + 5y^2 = 56,25$

Вынесем 5 за скобки:

$5(x^2 + y^2) = 56,25$

$x^2 + y^2 = \frac{56,25}{5} = 11,25$

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle AOB$. Нам нужно найти его гипотенузу $AB$. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AO^2 + BO^2 = (2x)^2 + (2y)^2 = 4x^2 + 4y^2 = 4(x^2 + y^2)$

Подставим найденное значение $x^2 + y^2 = 11,25$ в это выражение:

$AB^2 = 4 \cdot 11,25 = 45$

$AB = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Ответ: $3\sqrt{5}$ см.