Номер 177, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 177, страница 55.

Условие.

177. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

а) $(2x - y)(x - 3) = 0;$

б) $\frac{x + 2y}{x - 4} = 0;$

в) $(y - 4)(y - x^2) \le 0;$

г) $\frac{x - y}{y + 3} \ge 0.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Уравнение $(2x - y)(x - 3) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Это выполняется, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

$2x - y = 0$ или $x - 3 = 0$.

Первое уравнение, $2x - y = 0$, можно переписать в виде $y = 2x$. Это уравнение задает прямую линию, проходящую через начало координат $(0, 0)$ и, например, точку $(1, 2)$.

Второе уравнение, $x - 3 = 0$, можно переписать как $x = 3$. Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси $Oy$ и проходящую через точку $(3, 0)$.

Следовательно, искомое множество точек на координатной плоскости — это объединение этих двух прямых.

Ответ: Объединение двух прямых, заданных уравнениями $y = 2x$ и $x = 3$.

б) Уравнение $\frac{x + 2y}{x - 4} = 0$ представляет собой дробь, равную нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} x + 2y = 0 \\ x - 4 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $2y = -x$, или $y = -\frac{1}{2}x$. Это уравнение прямой, проходящей через начало координат $(0, 0)$ с угловым коэффициентом $-\frac{1}{2}$.

Второе условие $x - 4 \neq 0$ означает, что $x \neq 4$. Это значит, что из множества решений нужно исключить все точки, у которых абсцисса равна 4.

Найдем точку на прямой $y = -\frac{1}{2}x$, которую необходимо исключить. Подставим $x = 4$ в уравнение прямой: $y = -\frac{1}{2}(4) = -2$.

Таким образом, точка $(4, -2)$ не принадлежит искомому множеству. Графически это изображается как "выколотая" точка на прямой.

Ответ: Прямая $y = -\frac{1}{2}x$ с выколотой точкой $(4, -2)$.

в) Неравенство $(y - 4)(y - x^2) \le 0$ выполняется, когда множители имеют разные знаки или хотя бы один из них равен нулю. Это эквивалентно совокупности двух систем неравенств:

1) $\begin{cases} y - 4 \ge 0 \\ y - x^2 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y \ge 4 \\ y \le x^2 \end{cases} \implies 4 \le y \le x^2$.

2) $\begin{cases} y - 4 \le 0 \\ y - x^2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y \le 4 \\ y \ge x^2 \end{cases} \implies x^2 \le y \le 4$.

Границами областей являются линия $y = 4$ (горизонтальная прямая) и парабола $y = x^2$ (вершина в начале координат, ветви вверх). Эти линии пересекаются в точках, где $x^2 = 4$, то есть в точках $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.

Первая система $4 \le y \le x^2$ описывает множество точек, которые находятся не ниже прямой $y=4$ и не выше параболы $y=x^2$. Эта область существует при $|x| \ge 2$.

Вторая система $x^2 \le y \le 4$ описывает множество точек, которые находятся не ниже параболы $y=x^2$ и не выше прямой $y=4$. Эта область существует при $|x| \le 2$.

Объединение этих двух множеств представляет собой всю область, заключенную между графиками параболы $y = x^2$ и прямой $y = 4$, включая сами границы.

Ответ: Множество точек, расположенных между параболой $y=x^2$ и прямой $y=4$, включая сами линии.

г) Неравенство $\frac{x - y}{y + 3} \ge 0$ представляет собой дробь, которая больше или равна нулю. Это возможно в двух случаях: когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, причем знаменатель не должен быть равен нулю.

Условие на знаменатель: $y + 3 \neq 0$, то есть $y \neq -3$.

Рассмотрим два случая:

1) Числитель и знаменатель неотрицательны (с учетом $y \neq -3$):

$\begin{cases} x - y \ge 0 \\ y + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y \le x \\ y > -3 \end{cases}$

2) Числитель и знаменатель неположительны (с учетом $y \neq -3$):

$\begin{cases} x - y \le 0 \\ y + 3 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y \ge x \\ y < -3 \end{cases}$

Границами областей являются прямые $y = x$ и $y = -3$. Прямая $y=-3$ не входит в решение (изображается пунктиром). Прямая $y=x$ входит в решение (изображается сплошной линией), кроме их точки пересечения $(-3, -3)$, так как для нее $y = -3$.

Искомое множество точек — это объединение решений двух систем. Геометрически это два вертикальных угла, образованных пересечением прямых $y=x$ и $y=-3$.

Первая область — это точки, лежащие выше пунктирной прямой $y=-3$ и одновременно на или ниже сплошной прямой $y=x$.

Вторая область — это точки, лежащие ниже пунктирной прямой $y=-3$ и одновременно на или выше сплошной прямой $y=x$.

Ответ: Объединение двух областей: первая задается системой $\begin{cases} y \le x \\ y > -3 \end{cases}$, вторая — системой $\begin{cases} y \ge x \\ y < -3 \end{cases}$. Графически это два вертикальных угла, образованных прямыми $y=x$ и $y=-3$. Прямая $y=x$ (кроме точки $(-3, -3)$) является частью решения, а прямая $y=-3$ — нет.