Номер 180, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 180, страница 55.

Условие.

180. a) Возле школы планировали посадить несколько лип и берез. Если лип посадить вдвое больше, а берез – сколько намечено, то всего будет посажено меньше 8 деревьев. Если берез посадить вдвое больше, а лип – сколько намечено, то лип окажется больше. Сколько лип и сколько берез планировали посадить?

б) За 500 рублей куплено несколько пудов сахара (1 пуд – 16 кг). Если бы на те же деньги было куплено сахара на 5 пудов больше, то каждый пуд сахара был бы на 5 рублей дешевле. Сколько пудов сахара куплено? (Старинная русская задача.)

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Пусть $Л$ — это количество лип, которое планировали посадить, а $Б$ — количество берез. Так как речь идет о деревьях, $Л$ и $Б$ должны быть целыми положительными числами.

Рассмотрим условия задачи и переведем их в математические неравенства.

1. «Если лип посадить вдвое больше, а берез — сколько намечено, то всего будет посажено меньше 8 деревьев».
Количество лип становится $2Л$, количество берез остается $Б$. Их сумма меньше 8.
Получаем первое неравенство: $2Л + Б < 8$.

2. «Если берез посадить вдвое больше, а лип — сколько намечено, то лип окажется больше».
Количество берез становится $2Б$, количество лип остается $Л$. При этом количество лип больше нового количества берез.
Получаем второе неравенство: $Л > 2Б$.

Итак, мы имеем систему неравенств, где $Л$ и $Б$ — натуральные числа:
$2Л + Б < 8$
$Л > 2Б$

Будем решать систему методом перебора, начиная с наименьшего возможного значения для количества берез, $Б=1$.

Если $Б = 1$:
Подставим это значение в систему:
$2Л + 1 < 8 \Rightarrow 2Л < 7 \Rightarrow Л < 3.5$
$Л > 2 \cdot 1 \Rightarrow Л > 2$
Единственное целое число $Л$, которое удовлетворяет условию $2 < Л < 3.5$, это $Л=3$.
Пара $(Л=3, Б=1)$ является решением.

Если $Б = 2$:
Подставим это значение в систему:
$2Л + 2 < 8 \Rightarrow 2Л < 6 \Rightarrow Л < 3$
$Л > 2 \cdot 2 \Rightarrow Л > 4$
Не существует целого числа $Л$, которое было бы одновременно меньше 3 и больше 4. Значит, при $Б=2$ решений нет.

Если $Б \ge 3$:
Из второго неравенства $Л > 2Б$, значит $Л$ будет еще больше. Например, при $Б=3$, $Л > 6$.
Но из первого неравенства $2Л + Б < 8$, мы получаем $2Л < 8 - Б$. При $Б=3$ имеем $2Л < 5$, то есть $Л < 2.5$.
Условия $Л > 6$ и $Л < 2.5$ несовместимы. При увеличении $Б$ это противоречие будет только усиливаться.

Таким образом, единственное возможное решение — это 3 липы и 1 береза.
Ответ: Планировали посадить 3 липы и 1 березу.

б)

Пусть $x$ — это количество пудов сахара, которое было куплено, а $y$ — цена одного пуда в рублях.

Согласно условию, за $x$ пудов сахара заплатили 500 рублей. Мы можем составить первое уравнение:
$x \cdot y = 500$

Далее, по второму условию, если бы на те же 500 рублей купили на 5 пудов сахара больше (то есть $x+5$ пудов), то каждый пуд был бы на 5 рублей дешевле (то есть стоил бы $y-5$ рублей). Составляем второе уравнение:
$(x + 5)(y - 5) = 500$

Мы получили систему из двух уравнений:
$x \cdot y = 500$
$(x + 5)(y - 5) = 500$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = \frac{500}{x}$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:
$(x + 5)(\frac{500}{x} - 5) = 500$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$x \cdot \frac{500}{x} - 5 \cdot x + 5 \cdot \frac{500}{x} - 5 \cdot 5 = 500$
$500 - 5x + \frac{2500}{x} - 25 = 500$

Вычтем 500 из обеих частей уравнения и приведем подобные слагаемые:
$-5x + \frac{2500}{x} - 25 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на $x$ (количество пудов $x$ не может быть равно нулю):
$-5x^2 - 25x + 2500 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на -5:
$x^2 + 5x - 500 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-500) = 25 + 2000 = 2025$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{2025} = 45$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 + 45}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$x_2 = \frac{-5 - 45}{2} = \frac{-50}{2} = -25$

Так как количество сахара $x$ не может быть отрицательной величиной, нам подходит только корень $x=20$.
Ответ: Было куплено 20 пудов сахара.