Номер 186, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 186, страница 56.

Условие.

186. Общее сопротивление двух проводников при их последовательном соединении равно 12 Ом, а при параллельном – $2 \frac{2}{3}$ Ом. Найдите сопротивление каждого проводника.

Решение.

Решение 2 (rus).

Обозначим сопротивления двух проводников как $R_1$ и $R_2$.

При последовательном соединении общее сопротивление $R_{посл}$ является суммой сопротивлений отдельных проводников. Согласно условию, $R_{посл} = 12$ Ом. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:

$R_1 + R_2 = 12$

При параллельном соединении общее сопротивление $R_{пар}$ определяется по формуле $\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$, что для двух проводников эквивалентно $R_{пар} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$. По условию, $R_{пар} = 2\frac{2}{3}$ Ом. Переведем смешанную дробь в неправильную:

$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$ Ом

Теперь запишем второе уравнение:

$\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{8}{3}$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} R_1 + R_2 = 12 \\ \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{8}{3} \end{cases}$

Подставим значение $R_1 + R_2$ из первого уравнения во второе:

$\frac{R_1 \cdot R_2}{12} = \frac{8}{3}$

Отсюда найдем произведение сопротивлений $R_1 \cdot R_2$:

$R_1 \cdot R_2 = 12 \cdot \frac{8}{3} = 4 \cdot 8 = 32$

Теперь наша система уравнений упростилась:

$\begin{cases} R_1 + R_2 = 12 \\ R_1 \cdot R_2 = 32 \end{cases}$

Эту систему можно решить, например, методом подстановки. Выразим $R_2$ из первого уравнения: $R_2 = 12 - R_1$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$R_1 \cdot (12 - R_1) = 32$

$12R_1 - R_1^2 = 32$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$R_1^2 - 12R_1 + 32 = 0$

Это уравнение можно решить по теореме Виета (сумма корней равна 12, произведение равно 32, корни — 4 и 8) или через дискриминант.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16$

Найдем корни уравнения, которые и будут нашими искомыми сопротивлениями:

$R = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2}$

Один корень: $R_1 = \frac{12 + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8$ Ом.

Второй корень: $R_2 = \frac{12 - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$ Ом.

Таким образом, сопротивления проводников равны 4 Ом и 8 Ом.

Ответ: Сопротивления проводников равны 4 Ом и 8 Ом.