Номер 181, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 181, страница 56.

Условие.

181. a) Найдите два натуральных числа, если сумма обратных им чисел равна $0,2$;
б) Существуют ли два натуральных числа, разность квадратов которых равна $101$?

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Пусть искомые натуральные числа равны $x$ и $y$. По условию, сумма обратных им чисел равна 0,2. Составим уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0,2$

Представим десятичную дробь 0,2 в виде обыкновенной: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{5}$

Используя основное свойство пропорции, получим:

$5(x+y) = xy$

$5x + 5y = xy$

Перенесем все члены в одну сторону:

$xy - 5x - 5y = 0$

Чтобы решить это уравнение в натуральных числах, применим метод разложения на множители. Для этого прибавим к обеим частям уравнения 25:

$xy - 5x - 5y + 25 = 25$

Теперь левую часть можно сгруппировать и разложить на множители:

$x(y-5) - 5(y-5) = 25$

$(x-5)(y-5) = 25$

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа ($x \ge 1, y \ge 1$), то $x-5$ и $y-5$ — целые числа, большие или равные $-4$. Их произведение равно 25. Рассмотрим все пары целых множителей числа 25:

1) $\begin{cases} x-5 = 1 \\ y-5 = 25 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 6 \\ y = 30 \end{cases}$. Эта пара чисел (6, 30) является решением.

2) $\begin{cases} x-5 = 5 \\ y-5 = 5 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 10 \\ y = 10 \end{cases}$. Эта пара чисел (10, 10) является решением.

3) $\begin{cases} x-5 = 25 \\ y-5 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 30 \\ y = 6 \end{cases}$. Эта пара чисел (30, 6) является решением.

4) $\begin{cases} x-5 = -1 \\ y-5 = -25 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 4 \\ y = -20 \end{cases}$. Число -20 не является натуральным, поэтому это не решение.

5) $\begin{cases} x-5 = -5 \\ y-5 = -5 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$. Число 0 не является натуральным, поэтому это не решение.

6) $\begin{cases} x-5 = -25 \\ y-5 = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -20 \\ y = 4 \end{cases}$. Число -20 не является натуральным, поэтому это не решение.

Таким образом, возможны две пары чисел.

Ответ: 6 и 30, или 10 и 10.

б)

Пусть искомые натуральные числа — это $x$ и $y$. По условию, разность их квадратов равна 101. Без ограничения общности предположим, что $x > y$. Запишем уравнение:

$x^2 - y^2 = 101$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x-y)(x+y) = 101$

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, то $x-y$ и $x+y$ являются целыми числами. Кроме того, $x+y$ — положительное целое число. Так как их произведение равно 101 (положительное число), то и $x-y$ должно быть положительным целым числом.

Далее, заметим, что число 101 является простым, так как оно не имеет других делителей, кроме 1 и самого себя. (Проверка: $\sqrt{101} \approx 10,05$. Простые числа до 10: 2, 3, 5, 7. 101 не делится ни на одно из них).

Так как $x$ и $y$ — натуральные числа, то $x+y > x-y$. Значит, для множителей $x-y$ и $x+y$ существует только один вариант разложения числа 101:

$\begin{cases} x-y = 1 \\ x+y = 101 \end{cases}$

Решим полученную систему уравнений. Сложив первое и второе уравнения, получим:

$(x-y) + (x+y) = 1 + 101$

$2x = 102$

$x = 51$

Теперь подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы:

$51 + y = 101$

$y = 101 - 51$

$y = 50$

Мы нашли пару натуральных чисел $x=51$ и $y=50$. Проверим: $51^2 - 50^2 = 2601 - 2500 = 101$.

Поскольку нам удалось найти такие числа, ответ на вопрос — да, существуют.

Ответ: да, существуют, например, числа 51 и 50.