Номер 182, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 182, страница 56.

Условие.

182. Возраст одного человека не старше 80 лет в 1989 году был равен сумме цифр его года рождения. Найдите год его рождения.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть год рождения человека - $Y$. В 1989 году его возраст составлял $A = 1989 - Y$. По условию, возраст не превышал 80 лет, то есть $A \le 80$.
Найдем самое раннее возможное время рождения:
$1989 - Y \le 80$
$Y \ge 1989 - 80$
$Y \ge 1909$
Это означает, что человек родился в XX веке, и его год рождения можно представить в виде $\overline{19xy}$, где $x$ и $y$ — это цифры десятков и единиц соответственно.
Таким образом, год рождения можно записать как $Y = 1900 + 10x + y$.
Сумма цифр его года рождения $S$ равна:
$S = 1 + 9 + x + y = 10 + x + y$.
Возраст человека в 1989 году $A$ равен:
$A = 1989 - Y = 1989 - (1900 + 10x + y) = 89 - 10x - y$.
Согласно условию задачи, возраст равен сумме цифр года рождения, то есть $A = S$. Составим уравнение:
$89 - 10x - y = 10 + x + y$
Перегруппируем члены уравнения, чтобы выделить переменные:
$89 - 10 = 10x + x + y + y$
$79 = 11x + 2y$
В этом уравнении $x$ и $y$ являются цифрами, то есть могут принимать целые значения от 0 до 9.
Выразим $11x$ из уравнения: $11x = 79 - 2y$.
Так как $0 \le y \le 9$, то для $2y$ имеем $0 \le 2y \le 18$.
Это позволяет нам определить диапазон возможных значений для $11x$:
Если $y=9$, $11x = 79 - 18 = 61$.
Если $y=0$, $11x = 79 - 0 = 79$.
Следовательно, $61 \le 11x \le 79$.
Разделив на 11, найдем диапазон для $x$:
$\frac{61}{11} \le x \le \frac{79}{11}$
$5.54... \le x \le 7.18...$
Поскольку $x$ — это целая цифра, она может быть равна либо 6, либо 7.
Рассмотрим оба случая:
1. Если $x=6$:
$11 \cdot 6 + 2y = 79$
$66 + 2y = 79$
$2y = 13$
$y = 6.5$. Это значение не является целой цифрой, поэтому $x=6$ не является решением.
2. Если $x=7$:
$11 \cdot 7 + 2y = 79$
$77 + 2y = 79$
$2y = 2$
$y = 1$. Это значение является цифрой.
Таким образом, единственное решение — это $x=7$ и $y=1$.
Год рождения человека: $\overline{19xy} = 1971$.
Проверим результат:
Год рождения — 1971. Сумма его цифр: $1 + 9 + 7 + 1 = 18$.
Возраст в 1989 году: $1989 - 1971 = 18$ лет.
Возраст (18) равен сумме цифр года рождения (18), и возраст не превышает 80 лет. Все условия задачи выполнены.
Ответ: 1971.