Номер 184, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 184, страница 56.

Условие.

184. Какова протяженность $d$ км реки Уба, являющейся крупным правым притоком реки Иртыш, если $d$ – составное трехзначное число, большее $276$, но меньшее $282$, которое нельзя представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел?

Большой Убинский порог

Решение.

Решение 2 (rus).

Согласно условию, протяженность реки $d$ является трехзначным числом, которое больше 276, но меньше 282. Запишем это в виде неравенства: $276 < d < 282$. Целыми числами в этом промежутке являются: 277, 278, 279, 280, 281.

Следующее условие гласит, что $d$ — составное число. Проверим наши числа-кандидаты:

• 277 — простое число (не делится без остатка на простые числа до $\sqrt{277} \approx 16.6$).
• 278 — четное число, следовательно, составное ($278 = 2 \cdot 139$).
• 279 — сумма цифр $2+7+9=18$, делится на 3 и на 9, следовательно, составное ($279 = 9 \cdot 31$).
• 280 — заканчивается на 0, следовательно, составное ($280 = 10 \cdot 28$).
• 281 — простое число (не делится без остатка на простые числа до $\sqrt{281} \approx 16.7$).

Таким образом, для дальнейшего анализа остаются числа: 278, 279, 280.

Последнее условие — число $d$ нельзя представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Рассмотрим, какие числа можно представить в таком виде. Пусть $d = a^2 - b^2$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. Используя формулу разности квадратов, получаем $d = (a-b)(a+b)$.

Пусть $x = a-b$ и $y = a+b$. Тогда $a = \frac{x+y}{2}$ и $b = \frac{y-x}{2}$. Чтобы $a$ и $b$ были натуральными числами, необходимо, чтобы суммы $x+y$ и $y-x$ были четными и положительными. Это возможно только в том случае, если множители $x$ и $y$ имеют одинаковую четность (оба четные или оба нечетные).

• Если число $d$ нечетное, его можно разложить на два нечетных множителя (например, 1 и само число $d$). Следовательно, любое нечетное составное число можно представить в виде разности квадратов. Число 279 — нечетное, значит, оно нам не подходит. ($279 = 140^2 - 139^2$).
• Если число $d$ четное, то для представимости в виде разности квадратов оно должно раскладываться на два четных множителя. Это означает, что число $d$ должно быть кратно 4. Число 280 кратно 4 ($280 = 4 \cdot 70$), поэтому его можно представить в виде разности квадратов. ($280 = 71^2 - 69^2$, используя множители 2 и 140).
• Если же четное число $d$ при делении на 4 дает в остатке 2 (т.е. имеет вид $4k+2$), то его можно представить только как произведение четного и нечетного числа. В этом случае множители будут иметь разную четность, а значит, такое число нельзя представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

Проверим оставшееся число 278: $278 \div 4 = 69$ (остаток 2). Таким образом, число 278 имеет вид $4k+2$ и не может быть представлено в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Оно удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 278.