Номер 191, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 191, страница 57.

Условие.

191. Дамир и Динара решили вместе систему уравнений $\begin{cases} (x+y)(y-1)=3, \\ (x^2+1)(y^2+1)=10, \end{cases}$ где x и y – целые числа. Дамир составил из пар решений выборку из всех значений x, а Динара – из всех значений y. Затем каждый из них нашел стандартное отклонение данных полученной выборки. Установите, у кого получилось большее стандартное отклонение.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи сначала найдем все целочисленные решения $(x, y)$ данной системы уравнений:

$\begin{cases}(x + y)(y - 1) = 3 \\(x^2 + 1)(y^2 + 1) = 10\end{cases}$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Следовательно, множители во втором уравнении $x^2 + 1$ и $y^2 + 1$ являются натуральными числами, большими или равными 1. Разложим число 10 на натуральные множители: $10 = 1 \cdot 10 = 2 \cdot 5 = 5 \cdot 2 = 10 \cdot 1$. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: $x^2 + 1 = 1$ и $y^2 + 1 = 10$

Из первого уравнения получаем $x^2 = 0$, откуда $x=0$. Из второго уравнения $y^2 = 9$, откуда $y = 3$ или $y = -3$.
Подставим эти пары в первое уравнение системы $(x + y)(y - 1) = 3$:
1) Если $(x, y) = (0, 3)$, то $(0 + 3)(3 - 1) = 3 \cdot 2 = 6 \neq 3$. Решение не подходит.
2) Если $(x, y) = (0, -3)$, то $(0 - 3)(-3 - 1) = (-3) \cdot (-4) = 12 \neq 3$. Решение не подходит.

Случай 2: $x^2 + 1 = 2$ и $y^2 + 1 = 5$

Из первого уравнения получаем $x^2 = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$. Из второго уравнения $y^2 = 4$, откуда $y = 2$ или $y = -2$.
Проверим все четыре возможные пары:
1) Если $(x, y) = (1, 2)$, то $(1 + 2)(2 - 1) = 3 \cdot 1 = 3$. Это решение.
2) Если $(x, y) = (1, -2)$, то $(1 - 2)(-2 - 1) = (-1) \cdot (-3) = 3$. Это решение.
3) Если $(x, y) = (-1, 2)$, то $(-1 + 2)(2 - 1) = 1 \cdot 1 = 1 \neq 3$. Решение не подходит.
4) Если $(x, y) = (-1, -2)$, то $(-1 - 2)(-2 - 1) = (-3) \cdot (-3) = 9 \neq 3$. Решение не подходит.

Случай 3: $x^2 + 1 = 5$ и $y^2 + 1 = 2$

Из первого уравнения получаем $x^2 = 4$, откуда $x = 2$ или $x = -2$. Из второго уравнения $y^2 = 1$, откуда $y = 1$ или $y = -1$.
Если $y = 1$, то множитель $(y - 1)$ в первом уравнении системы равен 0, что дает $(x + 1)(0) = 0 \neq 3$. Значит, $y=1$ не является решением.
Проверим пары с $y = -1$:
1) Если $(x, y) = (2, -1)$, то $(2 - 1)(-1 - 1) = 1 \cdot (-2) = -2 \neq 3$. Решение не подходит.
2) Если $(x, y) = (-2, -1)$, то $(-2 - 1)(-1 - 1) = (-3) \cdot (-2) = 6 \neq 3$. Решение не подходит.

Случай 4: $x^2 + 1 = 10$ и $y^2 + 1 = 1$

Из первого уравнения получаем $x^2 = 9$, откуда $x = 3$ или $x = -3$. Из второго уравнения $y^2 = 0$, откуда $y = 0$.
Подставим эти пары в первое уравнение системы:
1) Если $(x, y) = (3, 0)$, то $(3 + 0)(0 - 1) = 3 \cdot (-1) = -3 \neq 3$. Решение не подходит.
2) Если $(x, y) = (-3, 0)$, то $(-3 + 0)(0 - 1) = (-3) \cdot (-1) = 3$. Это решение.

Итак, мы нашли все три целочисленных решения системы: $(1, 2)$, $(1, -2)$, $(-3, 0)$.

Теперь составим выборки и вычислим для каждой стандартное отклонение.

Выборка Дамира (значения x)

Выборка состоит из всех значений $x$: $X = \{1, 1, -3\}$.
Найдем среднее значение выборки (математическое ожидание) $\mu_x$:
$\mu_x = \frac{1 + 1 + (-3)}{3} = \frac{-1}{3}$
Теперь вычислим дисперсию $\sigma_x^2$ (средний квадрат отклонений):
$\sigma_x^2 = \frac{(1 - (-\frac{1}{3}))^2 + (1 - (-\frac{1}{3}))^2 + (-3 - (-\frac{1}{3}))^2}{3} = \frac{(\frac{4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2 + (-\frac{8}{3})^2}{3} = \frac{\frac{16}{9} + \frac{16}{9} + \frac{64}{9}}{3} = \frac{\frac{96}{9}}{3} = \frac{32}{9}$
Стандартное отклонение Дамира $\sigma_x = \sqrt{\frac{32}{9}} = \frac{\sqrt{32}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$.

Выборка Динары (значения y)

Выборка состоит из всех значений $y$: $Y = \{2, -2, 0\}$.
Найдем среднее значение выборки $\mu_y$:
$\mu_y = \frac{2 + (-2) + 0}{3} = \frac{0}{3} = 0$
Теперь вычислим дисперсию $\sigma_y^2$:
$\sigma_y^2 = \frac{(2 - 0)^2 + (-2 - 0)^2 + (0 - 0)^2}{3} = \frac{2^2 + (-2)^2 + 0^2}{3} = \frac{4 + 4 + 0}{3} = \frac{8}{3}$
Стандартное отклонение Динары $\sigma_y = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Сравнение стандартных отклонений

Чтобы сравнить $\sigma_x = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ и $\sigma_y = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$, удобнее сравнить их квадраты, то есть дисперсии:
$\sigma_x^2 = \frac{32}{9}$
$\sigma_y^2 = \frac{8}{3} = \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{24}{9}$
Так как $\frac{32}{9} > \frac{24}{9}$, то $\sigma_x^2 > \sigma_y^2$. Поскольку стандартные отклонения являются неотрицательными величинами, отсюда следует, что $\sigma_x > \sigma_y$.
Следовательно, у Дамира стандартное отклонение получилось больше.

Ответ: Стандартное отклонение получилось больше у Дамира.