Номер 197, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 197, страница 58.

Условие.

197. Решите систему, первое из уравнений которой можно рассматривать как квадратное относительно любой из переменных или новой переменной $t = \frac{x}{y}$:

a)

$\begin{cases} 2x^2 + 3xy + y^2 = 0, \\ y^2 - x^2 = 75; \end{cases}$

б)

$\begin{cases} 2x^2 - 3y^2 - 5xy = 0, \\ x^2 + y^2 = 10. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 + 3xy + y^2 = 0 \\ y^2 - x^2 = 75 \end{cases} $

Первое уравнение системы является однородным уравнением второй степени. Заметим, что $y \neq 0$, так как если $y=0$, то из первого уравнения следует $2x^2=0$, то есть $x=0$. Но пара $(0,0)$ не удовлетворяет второму уравнению ($0^2-0^2 \neq 75$).

Разделим обе части первого уравнения на $y^2$:

$2\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 3\left(\frac{x}{y}\right) + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$2t^2 + 3t + 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$t_1 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

$t_2 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Возвращаемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = -1$, откуда $x = -y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$y^2 - (-y)^2 = 75$

$y^2 - y^2 = 75$

$0 = 75$

Получено неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $\frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$, откуда $y = -2x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(-2x)^2 - x^2 = 75$

$4x^2 - x^2 = 75$

$3x^2 = 75$

$x^2 = 25$

Отсюда $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Найдем соответствующие значения $y$ из соотношения $y = -2x$:

Если $x_1 = 5$, то $y_1 = -2 \cdot 5 = -10$.

Если $x_2 = -5$, то $y_2 = -2 \cdot (-5) = 10$.

Таким образом, система имеет две пары решений.

Ответ: $(5, -10), (-5, 10)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 - 3y^2 - 5xy = 0 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} $

Перепишем первое уравнение в более привычном виде: $2x^2 - 5xy - 3y^2 = 0$. Это однородное уравнение второй степени. Как и в предыдущем пункте, $y \neq 0$ (и $x \neq 0$), так как пара $(0,0)$ не является решением второго уравнения ($0^2+0^2 \neq 10$).

Разделим обе части первого уравнения на $y^2 \neq 0$:

$2\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 5\left(\frac{x}{y}\right) - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$ и решим полученное квадратное уравнение:

$2t^2 - 5t - 3 = 0$

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

Возвращаемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$, откуда $y = -2x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 + (-2x)^2 = 10$

$x^2 + 4x^2 = 10$

$5x^2 = 10$

$x^2 = 2$

Отсюда $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.

Найдем соответствующие значения $y$ из $y = -2x$:

Если $x_1 = \sqrt{2}$, то $y_1 = -2\sqrt{2}$.

Если $x_2 = -\sqrt{2}$, то $y_2 = 2\sqrt{2}$.

Получили две пары решений: $(\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = 3$, откуда $x = 3y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(3y)^2 + y^2 = 10$

$9y^2 + y^2 = 10$

$10y^2 = 10$

$y^2 = 1$

Отсюда $y_3 = 1$ и $y_4 = -1$.

Найдем соответствующие значения $x$ из $x = 3y$:

Если $y_3 = 1$, то $x_3 = 3 \cdot 1 = 3$.

Если $y_4 = -1$, то $x_4 = 3 \cdot (-1) = -3$.

Получили еще две пары решений: $(3, 1)$ и $(-3, -1)$.

Ответ: $(\sqrt{2}, -2\sqrt{2}), (-\sqrt{2}, 2\sqrt{2}), (3, 1), (-3, -1)$.