Номер 199, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 199, страница 58.

Условие.

199. Площадь $S$ четырехугольника $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$, равна $10 \text{ дм}^2$. Найдите площади треугольников $BOC$ и $AOD$, если площади треугольников $AOB$ и $COD$ соответственно равны $1 \text{ дм}^2$ и $4 \text{ дм}^2$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $S_{AOB}$, $S_{BOC}$, $S_{COD}$ и $S_{AOD}$ — это площади треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$ и $AOD$ соответственно.

По условию задачи дано:

Площадь четырехугольника $ABCD$: $S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD} = 10 \text{ дм}^2$.

Площадь треугольника $AOB$: $S_{AOB} = 1 \text{ дм}^2$.

Площадь треугольника $COD$: $S_{COD} = 4 \text{ дм}^2$.

Требуется найти площади треугольников $BOC$ и $AOD$.

Для любого выпуклого четырехугольника, диагонали которого разбивают его на четыре треугольника, справедливо свойство: произведения площадей противолежащих треугольников равны. Докажем его.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к диагонали $AC$. Поэтому отношение их площадей равно отношению их оснований:

$\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{OC}$

Аналогично, для треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle COD$, которые имеют общую высоту, проведенную из вершины $D$ к диагонали $AC$, справедливо:

$\frac{S_{AOD}}{S_{COD}} = \frac{AO}{OC}$

Приравнивая правые части полученных равенств, получаем:

$\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{S_{AOD}}{S_{COD}}$

Отсюда следует, что $S_{AOB} \cdot S_{COD} = S_{BOC} \cdot S_{AOD}$.

Подставим известные значения в это равенство:

$1 \cdot 4 = S_{BOC} \cdot S_{AOD}$

$S_{BOC} \cdot S_{AOD} = 4$

Теперь используем информацию об общей площади четырехугольника:

$S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD} = 10$

$1 + S_{BOC} + 4 + S_{AOD} = 10$

$S_{BOC} + S_{AOD} = 10 - 1 - 4$

$S_{BOC} + S_{AOD} = 5$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $S_{BOC}$ и $S_{AOD}$:

$\begin{cases} S_{BOC} + S_{AOD} = 5 \\ S_{BOC} \cdot S_{AOD} = 4 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $S_{BOC}$ и $S_{AOD}$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$.

Решим это уравнение. Его можно легко разложить на множители:

$(x - 1)(x - 4) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Следовательно, искомые площади равны $1 \text{ дм}^2$ и $4 \text{ дм}^2$. Это означает, что либо $S_{BOC} = 1 \text{ дм}^2$ и $S_{AOD} = 4 \text{ дм}^2$, либо $S_{BOC} = 4 \text{ дм}^2$ и $S_{AOD} = 1 \text{ дм}^2$.

Ответ: площади треугольников $BOC$ и $AOD$ равны 1 дм² и 4 дм².