Номер 199, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 199, страница 58.
№199 (с. 58)
Условие. №199 (с. 58)
скриншот условия

199. Площадь $S$ четырехугольника $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$, равна $10 \text{ дм}^2$. Найдите площади треугольников $BOC$ и $AOD$, если площади треугольников $AOB$ и $COD$ соответственно равны $1 \text{ дм}^2$ и $4 \text{ дм}^2$.
Решение. №199 (с. 58)

Решение 2 (rus). №199 (с. 58)
Пусть $S_{AOB}$, $S_{BOC}$, $S_{COD}$ и $S_{AOD}$ — это площади треугольников $AOB$, $BOC$, $COD$ и $AOD$ соответственно.
По условию задачи дано:
Площадь четырехугольника $ABCD$: $S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD} = 10 \text{ дм}^2$.
Площадь треугольника $AOB$: $S_{AOB} = 1 \text{ дм}^2$.
Площадь треугольника $COD$: $S_{COD} = 4 \text{ дм}^2$.
Требуется найти площади треугольников $BOC$ и $AOD$.
Для любого выпуклого четырехугольника, диагонали которого разбивают его на четыре треугольника, справедливо свойство: произведения площадей противолежащих треугольников равны. Докажем его.
Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к диагонали $AC$. Поэтому отношение их площадей равно отношению их оснований:
$\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{OC}$
Аналогично, для треугольников $\triangle AOD$ и $\triangle COD$, которые имеют общую высоту, проведенную из вершины $D$ к диагонали $AC$, справедливо:
$\frac{S_{AOD}}{S_{COD}} = \frac{AO}{OC}$
Приравнивая правые части полученных равенств, получаем:
$\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{S_{AOD}}{S_{COD}}$
Отсюда следует, что $S_{AOB} \cdot S_{COD} = S_{BOC} \cdot S_{AOD}$.
Подставим известные значения в это равенство:
$1 \cdot 4 = S_{BOC} \cdot S_{AOD}$
$S_{BOC} \cdot S_{AOD} = 4$
Теперь используем информацию об общей площади четырехугольника:
$S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD} = 10$
$1 + S_{BOC} + 4 + S_{AOD} = 10$
$S_{BOC} + S_{AOD} = 10 - 1 - 4$
$S_{BOC} + S_{AOD} = 5$
Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $S_{BOC}$ и $S_{AOD}$:
$\begin{cases} S_{BOC} + S_{AOD} = 5 \\ S_{BOC} \cdot S_{AOD} = 4 \end{cases}$
Согласно обратной теореме Виета, $S_{BOC}$ и $S_{AOD}$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$.
Решим это уравнение. Его можно легко разложить на множители:
$(x - 1)(x - 4) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Следовательно, искомые площади равны $1 \text{ дм}^2$ и $4 \text{ дм}^2$. Это означает, что либо $S_{BOC} = 1 \text{ дм}^2$ и $S_{AOD} = 4 \text{ дм}^2$, либо $S_{BOC} = 4 \text{ дм}^2$ и $S_{AOD} = 1 \text{ дм}^2$.
Ответ: площади треугольников $BOC$ и $AOD$ равны 1 дм² и 4 дм².
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 199 расположенного на странице 58 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №199 (с. 58), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.