Номер 201, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 201, страница 58.

Условие.

201. Решите графически неравенство:

а) $(x-2)^2 - (y-3)^2 > 0;$

б) $\frac{x-y}{x+y} \le 0;$

в) $3 - |x| \ge |1 - y|.$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) $(x-2)^2 - (y-3)^2 > 0$

Данное неравенство представляет собой разность квадратов. Разложим левую часть на множители: $((x-2) - (y-3))((x-2) + (y-3)) > 0$ $(x - y + 1)(x + y - 5) > 0$

Произведение двух выражений положительно, когда оба выражения имеют одинаковый знак (оба положительны или оба отрицательны). Границами областей являются прямые, на которых эти выражения равны нулю: $x - y + 1 = 0 \implies y = x + 1$ $x + y - 5 = 0 \implies y = -x + 5$

Эти две прямые делят координатную плоскость на четыре области. Так как неравенство строгое ($>0$), сами прямые не входят в решение, и их следует изображать пунктирными линиями. Найдем точку их пересечения: $x + 1 = -x + 5 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. $y = 2 + 1 = 3$. Точка пересечения — $(2, 3)$.

Рассмотрим два случая:
1. Оба множителя положительны: $\begin{cases} x - y + 1 > 0 \\ x + y - 5 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y < x + 1 \\ y > -x + 5 \end{cases}$ Эта система неравенств описывает область, расположенную ниже прямой $y = x + 1$ и выше прямой $y = -x + 5$.

2. Оба множителя отрицательны: $\begin{cases} x - y + 1 < 0 \\ x + y - 5 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y > x + 1 \\ y < -x + 5 \end{cases}$ Эта система неравенств описывает область, расположенную выше прямой $y = x + 1$ и ниже прямой $y = -x + 5$.

Графически решением является объединение двух открытых вертикальных углов, образованных пересечением прямых $y = x + 1$ и $y = -x + 5$.

Ответ: Множество точек плоскости, расположенных в двух открытых вертикальных углах, образованных пересечением прямых $y=x+1$ и $y=-x+5$. Первая область задается системой $y < x + 1$ и $y > -x + 5$. Вторая область задается системой $y > x + 1$ и $y < -x + 5$. Границы (прямые) не включены в решение.

б) $\frac{x-y}{x+y} \le 0$

Дробь неположительна, когда ее числитель и знаменатель имеют разные знаки, либо когда числитель равен нулю. Важно учесть область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю. $x + y \neq 0 \implies y \neq -x$.

Неравенство равносильно совокупности двух систем с учетом ОДЗ:
1. Числитель больше либо равен нулю, а знаменатель строго меньше нуля: $\begin{cases} x - y \ge 0 \\ x + y < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y \le x \\ y < -x \end{cases}$ Эта система описывает область, расположенную ниже (и на) прямой $y=x$ и строго ниже прямой $y=-x$.
2. Числитель меньше либо равен нулю, а знаменатель строго больше нуля: $\begin{cases} x - y \le 0 \\ x + y > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y \ge x \\ y > -x \end{cases}$ Эта система описывает область, расположенную выше (и на) прямой $y=x$ и строго выше прямой $y=-x$.

Границами областей являются прямые $y=x$ и $y=-x$. Прямая $y=x$ (где числитель равен нулю) входит в решение, поэтому ее изображают сплошной линией. Прямая $y=-x$ (где знаменатель равен нулю) не входит в решение, ее изображают пунктирной линией. Эти прямые являются биссектрисами координатных углов и пересекаются в начале координат.

Графически решением является объединение двух вертикальных углов, содержащих ось $Oy$.

Ответ: Множество точек, лежащих в двух вертикальных углах, образованных прямыми $y=x$ и $y=-x$. Угол, содержащий положительную полуось $Oy$, задается системой $y \ge x$ и $y > -x$. Угол, содержащий отрицательную полуось $Oy$, задается системой $y \le x$ и $y < -x$. Прямая $y=x$ включена в решение, а прямая $y=-x$ (кроме точки $(0,0)$) исключена.

в) $3 - |x| \ge |1 - y|$

Так как правая часть неравенства $|1-y|$ всегда неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной: $3 - |x| \ge 0 \implies |x| \le 3 \implies -3 \le x \le 3$. Решение должно находиться в полосе между прямыми $x=-3$ и $x=3$.

Неравенство содержит модули, поэтому для его решения раскроем модули в четырех квадрантах, на которые плоскость делится прямыми $x=0$ и $y=1$. Поскольку неравенство нестрогое, границы будут включены в решение и изображаются сплошными линиями.

1. $x \ge 0, y \ge 1$: $3 - x \ge -(1-y) \implies 3 - x \ge y - 1 \implies y \le -x + 4$.
2. $x \ge 0, y < 1$: $3 - x \ge 1 - y \implies y \ge x - 2$.
3. $x < 0, y \ge 1$: $3 - (-x) \ge -(1-y) \implies 3 + x \ge y - 1 \implies y \le x + 4$.
4. $x < 0, y < 1$: $3 - (-x) \ge 1 - y \implies 3 + x \ge 1 - y \implies y \ge -x - 2$.

Объединение этих четырех областей образует на плоскости замкнутую фигуру. Найдем вершины этой фигуры, решая системы уравнений для граничных прямых:

• $y = -x + 4$ и $y = x - 2$ $\implies$ $x=3, y=1$. Вершина $(3,1)$.
• $y = x - 2$ и $y = -x - 2$ $\implies$ $x=0, y=-2$. Вершина $(0,-2)$.
• $y = -x - 2$ и $y = x + 4$ $\implies$ $x=-3, y=1$. Вершина $(-3,1)$.
• $y = x + 4$ и $y = -x + 4$ $\implies$ $x=0, y=4$. Вершина $(0,4)$.

Полученные вершины $(0,4)$, $(3,1)$, $(0,-2)$ и $(-3,1)$ образуют ромб. Решением неравенства является множество всех точек внутри этого ромба и на его границах.

Ответ: Множество точек, образующих ромб с вершинами в точках $(0,4)$, $(3,1)$, $(0,-2)$, $(-3,1)$, включая его внутреннюю область и границы.