Номер 195, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 195, страница 58.

Условие.

195. Во сколько раз сопротивление одного проводника больше, чем сопротивление другого, если известно, что их общее сопротивление при последовательном соединении в $6 \frac{1}{4}$ раза больше, чем при параллельном?

Решение.

Решение 2 (rus).

Обозначим сопротивления двух проводников как $R_1$ и $R_2$.

Общее сопротивление при их последовательном соединении ($R_{пос}$) вычисляется по формуле:$R_{пос} = R_1 + R_2$

Общее сопротивление при их параллельном соединении ($R_{пар}$) вычисляется по формуле, которая выводится из закона для параллельного соединения $\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$:$R_{пар} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

По условию задачи, общее сопротивление при последовательном соединении в $6\frac{1}{4}$ раза больше, чем при параллельном. Запишем это в виде уравнения:$R_{пос} = 6\frac{1}{4} \cdot R_{пар}$

Переведем смешанную дробь в неправильную: $6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$.Следовательно, условие можно записать так:$R_{пос} = \frac{25}{4} R_{пар}$

Теперь подставим выражения для $R_{пос}$ и $R_{пар}$ в это уравнение:$R_1 + R_2 = \frac{25}{4} \cdot \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(R_1 + R_2)$, чтобы упростить его:$(R_1 + R_2)(R_1 + R_2) = \frac{25}{4} R_1 R_2$$(R_1 + R_2)^2 = \frac{25}{4} R_1 R_2$

Раскроем квадрат суммы в левой части:$R_1^2 + 2R_1 R_2 + R_2^2 = \frac{25}{4} R_1 R_2$

Задача состоит в том, чтобы найти отношение сопротивлений, то есть во сколько раз одно больше другого. Обозначим это отношение как $k = \frac{R_1}{R_2}$ (предполагая, что $R_1 > R_2$). Чтобы получить уравнение относительно $k$, разделим все члены нашего уравнения на $R_2^2$ (считая, что $R_2 \neq 0$):$\frac{R_1^2}{R_2^2} + \frac{2R_1 R_2}{R_2^2} + \frac{R_2^2}{R_2^2} = \frac{25}{4} \frac{R_1 R_2}{R_2^2}$

Упростим выражение и заменим $\frac{R_1}{R_2}$ на $k$:$(\frac{R_1}{R_2})^2 + 2\frac{R_1}{R_2} + 1 = \frac{25}{4}\frac{R_1}{R_2}$$k^2 + 2k + 1 = \frac{25}{4}k$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$k^2 + 2k - \frac{25}{4}k + 1 = 0$$k^2 + (\frac{8}{4} - \frac{25}{4})k + 1 = 0$$k^2 - \frac{17}{4}k + 1 = 0$

Для удобства решения умножим все уравнение на 4:$4k^2 - 17k + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $k$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$

Найдем корни уравнения по формуле $k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$k_1 = \frac{-(-17) + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$$k_2 = \frac{-(-17) - \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Мы получили два возможных значения для отношения $\frac{R_1}{R_2}$: 4 и $\frac{1}{4}$. Если $\frac{R_1}{R_2} = 4$, то сопротивление $R_1$ в 4 раза больше $R_2$. Если $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{4}$, то $R_2 = 4R_1$, то есть сопротивление $R_2$ в 4 раза больше $R_1$. В обоих случаях одно сопротивление в 4 раза больше другого.

Ответ: в 4 раза.