Номер 194, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 194, страница 57.

Условие.

194. Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными домами. Если бы девятиэтажных домов было вдвое больше, то всех домов было бы меньше 12. А если бы пятиэтажных домов было вдвое меньше, то всех домов было бы больше 4. Исследуйте, могло ли количество всех домов быть равным:
а) 11;
б) 10.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $x$ — количество пятиэтажных домов, а $y$ — количество девятиэтажных домов. Исходя из условия задачи, $x$ и $y$ являются натуральными числами ($x \ge 1$, $y \ge 1$). Кроме того, условие «если бы пятиэтажных домов было вдвое меньше» подразумевает, что $x$ — четное число.

Запишем условия задачи в виде системы неравенств:

1. «Если бы девятиэтажных домов было вдвое больше, то всех домов было бы меньше 12»: $x + 2y < 12$.

2. «Если бы пятиэтажных домов было вдвое меньше, то всех домов было бы больше 4»: $\frac{x}{2} + y > 4$.

Преобразуем второе неравенство, умножив обе части на 2, чтобы избавиться от дроби: $x + 2y > 8$.

Объединив оба неравенства, получаем: $8 < x + 2y < 12$.

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то и выражение $x + 2y$ должно быть целым числом. Следовательно, $x + 2y$ может принимать одно из следующих значений: 9, 10 или 11.

Рассмотрим каждый возможный случай:

• Случай 1: $x + 2y = 9$. Выразим $x$: $x = 9 - 2y$. Так как $2y$ — всегда четное число, то $x$ в этом случае будет нечетным. Это противоречит условию, что $x$ — четное число. Значит, этот случай невозможен.

• Случай 2: $x + 2y = 11$. Выразим $x$: $x = 11 - 2y$. Аналогично первому случаю, $x$ будет нечетным, что противоречит условию. Этот случай также невозможен.

• Случай 3: $x + 2y = 10$. Выразим $x$: $x = 10 - 2y = 2(5-y)$. В этом случае $x$ всегда будет четным при любом целом $y$. Это единственный возможный вариант. Найдем все пары натуральных чисел $(x, y)$, удовлетворяющие этому уравнению, помня, что $x$ должно быть положительным четным числом, а $y$ — положительным.

Условие $x > 0$ дает нам $10 - 2y > 0$, откуда $2y < 10$, то есть $y < 5$. Учитывая, что $y$ — натуральное число, возможные значения для $y$: 1, 2, 3, 4.
— При $y=1$, $x = 10 - 2(1) = 8$. Общее число домов $x+y = 8+1=9$.
— При $y=2$, $x = 10 - 2(2) = 6$. Общее число домов $x+y = 6+2=8$.
— При $y=3$, $x = 10 - 2(3) = 4$. Общее число домов $x+y = 4+3=7$.
— При $y=4$, $x = 10 - 2(4) = 2$. Общее число домов $x+y = 2+4=6$.

Таким образом, единственно возможные значения для общего количества домов — это 6, 7, 8 и 9. Теперь мы можем ответить на вопросы задачи.

а) Могло ли количество всех домов быть равным 11?

Из нашего анализа следует, что максимальное возможное общее количество домов равно 9. Так как $11 > 9$, то общее количество домов не могло быть равным 11.
Проверим это алгебраически. Если предположить, что общее количество домов $x+y=11$, то $y=11-x$. Подставляя в неравенство $8 < x + 2y < 12$, получаем:
$8 < x + 2(11-x) < 12$
$8 < x + 22 - 2x < 12$
$8 < 22 - x < 12$
Это двойное неравенство распадается на два: $22-x > 8 \implies x < 14$ и $22-x < 12 \implies x > 10$.
Таким образом, $10 < x < 14$. Единственное четное целое число в этом промежутке — $x=12$. Но тогда $y = 11 - 12 = -1$, что невозможно, так как количество домов не может быть отрицательным.
Ответ: нет, не могло.

б) Могло ли количество всех домов быть равным 10?

Как было установлено, возможные значения для общего количества домов — 6, 7, 8, 9. Число 10 в этот набор не входит.
Проверим это алгебраически. Если предположить, что $x+y=10$, то $y=10-x$. Подставляя в неравенство $8 < x + 2y < 12$, получаем:
$8 < x + 2(10-x) < 12$
$8 < x + 20 - 2x < 12$
$8 < 20 - x < 12$
Из этого следует, что $8 < x < 12$. Единственное четное целое число в этом промежутке — $x=10$. Тогда $y = 10-10=0$. Но по условию в квартале есть и девятиэтажные дома ($y \ge 1$). Следовательно, это решение не подходит.
Ответ: нет, не могло.