Номер 200, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 200, страница 58.

Условие.

200. Докажите, что любая пара чисел является решением неравенства:
а) $x^4 - x^2y^2 + y^4 \geq 0$;
б) $x^6 - x^3y^3 + y^6 \geq 0$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Чтобы доказать, что неравенство $x^4 - x^2y^2 + y^4 \ge 0$ верно для любой пары чисел, преобразуем его левую часть. Для этого воспользуемся методом выделения полного квадрата.

Представим средний член $-x^2y^2$ в виде суммы $-2x^2y^2 + x^2y^2$:

$x^4 - x^2y^2 + y^4 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4 + x^2y^2$

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют полный квадрат разности выражений $x^2$ и $y^2$:

$(x^4 - 2x^2y^2 + y^4) + x^2y^2 = (x^2 - y^2)^2 + (xy)^2$

В результате мы получили сумму двух квадратов.

Первое слагаемое, $(x^2 - y^2)^2$, является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда больше либо равно нулю: $(x^2 - y^2)^2 \ge 0$.

Второе слагаемое, $(xy)^2$, также является квадратом действительного числа и, следовательно, всегда больше либо равно нулю: $(xy)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна. Таким образом, $(x^2 - y^2)^2 + (xy)^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $y$.

Это доказывает исходное неравенство. Равенство нулю достигается только в случае, когда оба слагаемых равны нулю, то есть при $x=0$ и $y=0$.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства неравенства $x^6 - x^3y^3 + y^6 \ge 0$ рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $y = 0$.

Подставим значение $y=0$ в левую часть неравенства:

$x^6 - x^3 \cdot 0^3 + 0^6 = x^6 - 0 + 0 = x^6$

Неравенство принимает вид $x^6 \ge 0$. Это утверждение является истинным для любого действительного числа $x$, так как чётная степень любого числа всегда неотрицательна.

Случай 2: $y \ne 0$.

Если $y \ne 0$, то $y^6$ является строго положительным числом ($y^6 > 0$). Мы можем разделить обе части исходного неравенства на $y^6$, при этом знак неравенства сохранится:

$\frac{x^6}{y^6} - \frac{x^3y^3}{y^6} + \frac{y^6}{y^6} \ge 0$

Упростим полученное выражение:

$(\frac{x}{y})^6 - (\frac{x}{y})^3 + 1 \ge 0$

Введем новую переменную $t = (\frac{x}{y})^3$. Так как $x$ может быть любым действительным числом, а $y$ — любым ненулевым, переменная $t$ может принимать любое действительное значение. Неравенство переписывается в виде:

$t^2 - t + 1 \ge 0$

Чтобы доказать это неравенство, рассмотрим квадратичную функцию $f(t) = t^2 - t + 1$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $t^2$ положителен ($1 > 0$).

Найдем дискриминант этого квадратного трёхчлена: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), а ветви параболы направлены вверх, вся парабола лежит выше оси абсцисс, то есть $f(t) > 0$ для всех значений $t$.

Таким образом, неравенство $t^2 - t + 1 \ge 0$ верно для любого $t$, а значит, и исходное неравенство верно при $y \ne 0$.

Поскольку неравенство выполняется в обоих случаях, оно доказано для любой пары чисел $x$ и $y$.

Ответ: Неравенство доказано.