Номер 202, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 202, страница 58.

Условие.

202. Установите, сколько пар (x; y) натуральных чисел являются решениями системы неравенств $\begin{cases} \frac{1}{x} \le y \le -x + 4,5, \\ x > 0. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для решения задачи необходимо найти все пары натуральных чисел $(x; y)$, которые удовлетворяют системе неравенств $ \begin{cases} \frac{1}{x} \le y \le -x + 4.5, \\ x > 0. \end{cases} $ Поскольку $x$ и $y$ являются натуральными числами, они принимают значения из множества $\{1, 2, 3, \dots\}$. Условие $x > 0$ для натурального $x$ выполняется автоматически.

Основное условие задано двойным неравенством $ \frac{1}{x} \le y \le -x + 4.5 $. Для существования хотя бы одного целочисленного решения для $y$, интервал, заданный неравенством, должен иметь длину не менее 0, то есть левая граница не должна превышать правую: $ \frac{1}{x} \le -x + 4.5 $. Так как $x$ - натуральное число ($x>0$), мы можем умножить обе части неравенства на $x$: $ 1 \le -x^2 + 4.5x $. Перенеся все слагаемые в одну сторону, получим квадратное неравенство: $ x^2 - 4.5x + 1 \le 0 $.

Для решения этого неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 4.5x + 1 = 0$ с помощью дискриминанта: $ D = (-4.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 20.25 - 4 = 16.25 $. Корни уравнения: $ x_{1,2} = \frac{4.5 \pm \sqrt{16.25}}{2} $. Оценим значения корней: так как $4^2 = 16$ и $4.1^2=16.81$, то $4 < \sqrt{16.25} < 4.1$. $ x_1 = \frac{4.5 - \sqrt{16.25}}{2} \approx \frac{4.5 - 4.03}{2} \approx 0.235 $. $ x_2 = \frac{4.5 + \sqrt{16.25}}{2} \approx \frac{4.5 + 4.03}{2} \approx 4.265 $. График функции $f(x) = x^2 - 4.5x + 1$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $f(x) \le 0$ выполняется при $x$, находящемся между корнями: $x_1 \le x \le x_2$, или, приблизительно, $0.235 \le x \le 4.265$. Поскольку $x$ должен быть натуральным числом, возможные значения для $x$: $1, 2, 3, 4$.

Теперь переберем все возможные натуральные значения $x$ и найдем для каждого из них соответствующие натуральные значения $y$: При $x=1$: $ \frac{1}{1} \le y \le -1 + 4.5 \implies 1 \le y \le 3.5 $. Натуральные $y$: $1, 2, 3$. Получаем 3 пары. При $x=2$: $ \frac{1}{2} \le y \le -2 + 4.5 \implies 0.5 \le y \le 2.5 $. Натуральные $y$: $1, 2$. Получаем 2 пары. При $x=3$: $ \frac{1}{3} \le y \le -3 + 4.5 \implies 0.33... \le y \le 1.5 $. Натуральное $y$: $1$. Получаем 1 пару. При $x=4$: $ \frac{1}{4} \le y \le -4 + 4.5 \implies 0.25 \le y \le 0.5 $. Натуральных значений $y$ нет. Получаем 0 пар.

Суммируя количество найденных пар, получаем общее число решений: $3 + 2 + 1 + 0 = 6$.

Ответ: 6