Номер 196, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 196, страница 58.
№196 (с. 58)
Условие. №196 (с. 58)
скриншот условия

196. Найдите все значения $c$, если прямая $x+y+c=0$ касается окружности $x^2+y^2=1$.
Решение. №196 (с. 58)

Решение 2 (rus). №196 (с. 58)
Для того чтобы прямая касалась окружности, необходимо и достаточно, чтобы расстояние от центра окружности до этой прямой было равно радиусу окружности.
Уравнение окружности дано в каноническом виде $x^2 + y^2 = R^2$. В нашем случае, уравнение $x^2 + y^2 = 1$ описывает окружность с центром в начале координат, точке $O(0, 0)$, и радиусом $R = 1$.
Уравнение прямой дано в общем виде $Ax + By + C = 0$. В нашем случае это прямая $x + y + c = 0$, где коэффициенты $A=1$, $B=1$, $C=c$.
Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
Подставим в эту формулу координаты центра окружности $O(0, 0)$ и коэффициенты нашей прямой:
$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + c|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{2}}$
Теперь приравняем это расстояние к радиусу окружности $R=1$:
$\frac{|c|}{\sqrt{2}} = 1$
Отсюда находим модуль $c$:
$|c| = \sqrt{2}$
Это уравнение имеет два решения для $c$:
$c_1 = \sqrt{2}$
$c_2 = -\sqrt{2}$
Таким образом, существуют две прямые, $x+y+\sqrt{2}=0$ и $x+y-\sqrt{2}=0$, которые касаются данной окружности.
Альтернативный метод (через дискриминант):
Касание означает, что система уравнений прямой и окружности имеет единственное решение.
$\begin{cases} x + y + c = 0 \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $y = -x - c$ и подставим во второе:
$x^2 + (-x - c)^2 = 1$
$x^2 + (x^2 + 2cx + c^2) = 1$
$2x^2 + 2cx + c^2 - 1 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$ должно иметь единственное решение, что означает, что его дискриминант $D$ должен быть равен нулю.
$D = (2c)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (c^2 - 1) = 0$
$4c^2 - 8(c^2 - 1) = 0$
$4c^2 - 8c^2 + 8 = 0$
$-4c^2 + 8 = 0$
$4c^2 = 8$
$c^2 = 2$
$c = \pm\sqrt{2}$
Оба метода приводят к одному и тому же результату.
Ответ: $c = \sqrt{2}; c = -\sqrt{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 196 расположенного на странице 58 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №196 (с. 58), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.