Номер 196, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 196, страница 58.

Условие.

196. Найдите все значения $c$, если прямая $x+y+c=0$ касается окружности $x^2+y^2=1$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для того чтобы прямая касалась окружности, необходимо и достаточно, чтобы расстояние от центра окружности до этой прямой было равно радиусу окружности.

Уравнение окружности дано в каноническом виде $x^2 + y^2 = R^2$. В нашем случае, уравнение $x^2 + y^2 = 1$ описывает окружность с центром в начале координат, точке $O(0, 0)$, и радиусом $R = 1$.

Уравнение прямой дано в общем виде $Ax + By + C = 0$. В нашем случае это прямая $x + y + c = 0$, где коэффициенты $A=1$, $B=1$, $C=c$.

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Подставим в эту формулу координаты центра окружности $O(0, 0)$ и коэффициенты нашей прямой:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + c|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{2}}$

Теперь приравняем это расстояние к радиусу окружности $R=1$:

$\frac{|c|}{\sqrt{2}} = 1$

Отсюда находим модуль $c$:

$|c| = \sqrt{2}$

Это уравнение имеет два решения для $c$:

$c_1 = \sqrt{2}$

$c_2 = -\sqrt{2}$

Таким образом, существуют две прямые, $x+y+\sqrt{2}=0$ и $x+y-\sqrt{2}=0$, которые касаются данной окружности.

Альтернативный метод (через дискриминант):

Касание означает, что система уравнений прямой и окружности имеет единственное решение.

$\begin{cases} x + y + c = 0 \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y = -x - c$ и подставим во второе:

$x^2 + (-x - c)^2 = 1$

$x^2 + (x^2 + 2cx + c^2) = 1$

$2x^2 + 2cx + c^2 - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$ должно иметь единственное решение, что означает, что его дискриминант $D$ должен быть равен нулю.

$D = (2c)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (c^2 - 1) = 0$

$4c^2 - 8(c^2 - 1) = 0$

$4c^2 - 8c^2 + 8 = 0$

$-4c^2 + 8 = 0$

$4c^2 = 8$

$c^2 = 2$

$c = \pm\sqrt{2}$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $c = \sqrt{2}; c = -\sqrt{2}$.