Номер 203, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 203, страница 59.

Условие.

203. 1A) Какое из уравнений: а) $x^2 + 4x + 4 = 0$; б) $xy = 19$; в) $x\sqrt{3} - y\sqrt{5} = 8$ является нелинейным уравнением с двумя переменными? Найдите одно из его решений.

2A) Решите систему уравнений: $\begin{cases} x + y = 10, \\ 12(x + y) = 5xy. \end{cases}$

3B) Две группы туристов одновременно отправились в поход, двигаясь с постоянными скоростями, первая – на север, вторая – на запад, и через 4 ч расстояние между ними было 24 км. Если бы обе группы отправились в одном направлении, то через 4 ч расстояние между ними было бы 4,8 км. Найдите скорость движения каждой группы.

4B) Изобразите в координатной плоскости множество решений неравенства $y + x^2 < 4x - 1$ и выберите из этого множества все пары $(x; y)$ натуральных чисел.

5C) Найдите площадь фигуры, координаты каждой точки которой являются решениями системы неравенств $\begin{cases} |x| + |y| \leq 4, \\ y \leq 1. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

1A)

Линейным уравнением с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнение вида $ax + by + c = 0$, где $a$, $b$ и $c$ – числа, причем хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ не равно нулю. Уравнения, которые не соответствуют этому виду, являются нелинейными.
Рассмотрим предложенные уравнения:
а) $x^2 + 4x + 4 = 0$ – это уравнение с одной переменной $x$. Кроме того, оно содержит $x^2$, что делает его нелинейным (квадратным). Но оно не является уравнением с двумя переменными.
б) $xy = 19$ – это уравнение с двумя переменными $x$ и $y$. Оно содержит произведение переменных $xy$, поэтому оно является нелинейным.
в) $x\sqrt{3} - y\sqrt{5} = 8$ – это уравнение можно привести к виду $\sqrt{3}x - \sqrt{5}y - 8 = 0$. Оно соответствует общему виду линейного уравнения $ax + by + c = 0$, где $a = \sqrt{3}$, $b = -\sqrt{5}$ и $c = -8$. Следовательно, это линейное уравнение с двумя переменными.
Таким образом, нелинейным уравнением с двумя переменными является уравнение б) $xy = 19$.
Чтобы найти одно из его решений, нужно подобрать пару чисел $(x, y)$, произведение которых равно 19. Например, если $x = 1$, то $y = 19$.
Ответ: нелинейным является уравнение б) $xy = 19$. Одно из его решений: $(1, 19)$.

2A)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 10, \\ 12(x + y) = 5xy. \end{cases} $
Из первого уравнения мы знаем, что $x + y = 10$. Подставим это значение во второе уравнение системы:
$12 \cdot 10 = 5xy$
$120 = 5xy$
Разделим обе части на 5:
$xy = 24$
Теперь мы имеем новую, более простую систему:
$ \begin{cases} x + y = 10, \\ xy = 24. \end{cases} $
По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 10t + 24 = 0$.
Решим это уравнение. Можно найти корни подбором (произведение 24, сумма 10 – это числа 4 и 6) или через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 2}{2} = 6$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 2}{2} = 4$
Корни уравнения – 4 и 6. Это означает, что переменные $x$ и $y$ принимают эти значения. Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(4, 6)$ и $(6, 4)$.

3B)

Пусть $v_1$ (км/ч) – скорость первой группы туристов, а $v_2$ (км/ч) – скорость второй группы. Время движения $t = 4$ ч.
Случай 1: Группы движутся перпендикулярно (первая на север, вторая на запад). За 4 часа первая группа пройдет расстояние $S_1 = 4v_1$ км, а вторая – $S_2 = 4v_2$ км. Их пути образуют катеты прямоугольного треугольника, а расстояние между ними – гипотенузу. По теореме Пифагора:
$S_1^2 + S_2^2 = 24^2$
$(4v_1)^2 + (4v_2)^2 = 576$
$16v_1^2 + 16v_2^2 = 576$
Разделим обе части уравнения на 16:
$v_1^2 + v_2^2 = 36$
Случай 2: Группы движутся в одном направлении. За 4 часа расстояние между ними будет равно разности пройденных ими путей:
$|S_1 - S_2| = 4.8$
$|4v_1 - 4v_2| = 4.8$
$4|v_1 - v_2| = 4.8$
$|v_1 - v_2| = 1.2$
Получаем систему из двух уравнений. Пусть $v_1 > v_2$, тогда $v_1 - v_2 = 1.2$, откуда $v_1 = v_2 + 1.2$.
$ \begin{cases} v_1^2 + v_2^2 = 36 \\ v_1 = v_2 + 1.2 \end{cases} $
Подставим второе уравнение в первое:
$(v_2 + 1.2)^2 + v_2^2 = 36$
$v_2^2 + 2.4v_2 + 1.44 + v_2^2 = 36$
$2v_2^2 + 2.4v_2 - 34.56 = 0$
Разделим на 2:
$v_2^2 + 1.2v_2 - 17.28 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (1.2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17.28) = 1.44 + 69.12 = 70.56$
$\sqrt{D} = \sqrt{70.56} = 8.4$
$v_2 = \frac{-1.2 \pm 8.4}{2}$
Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем корень со знаком плюс:
$v_2 = \frac{-1.2 + 8.4}{2} = \frac{7.2}{2} = 3.6$ (км/ч)
Теперь найдем $v_1$:
$v_1 = v_2 + 1.2 = 3.6 + 1.2 = 4.8$ (км/ч)
Если бы мы предположили, что $v_2 > v_1$, то получили бы те же значения скоростей, но наоборот.
Ответ: скорость одной группы 4,8 км/ч, скорость другой группы 3,6 км/ч.

4B)

Требуется изобразить множество решений неравенства $y + x^2 < 4x - 1$ и найти все пары натуральных чисел $(x, y)$, удовлетворяющих ему. Натуральные числа – это $1, 2, 3, \dots$
Преобразуем неравенство, выразив $y$:
$y < -x^2 + 4x - 1$
Множество решений этого неравенства – это область на координатной плоскости, расположенная ниже параболы $y = -x^2 + 4x - 1$. Сама парабола не включается в решение, поэтому ее следует изображать пунктирной линией.
Найдем вершину параболы $y = -x^2 + 4x - 1$:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2$
$y_v = -(2)^2 + 4(2) - 1 = -4 + 8 - 1 = 3$
Вершина находится в точке $(2, 3)$, ветви параболы направлены вниз.
Теперь найдем все пары натуральных чисел $(x, y)$, удовлетворяющие неравенству $y < -x^2 + 4x - 1$. Будем перебирать натуральные значения $x$ и находить для них возможные натуральные значения $y$.
При $x = 1$:
$y < -(1)^2 + 4(1) - 1 = -1 + 4 - 1 = 2$. Так как $y$ – натуральное число, то $y = 1$. Получаем пару $(1, 1)$.
При $x = 2$:
$y < -(2)^2 + 4(2) - 1 = -4 + 8 - 1 = 3$. Натуральные значения $y$: $1, 2$. Получаем пары $(2, 1)$ и $(2, 2)$.
При $x = 3$:
$y < -(3)^2 + 4(3) - 1 = -9 + 12 - 1 = 2$. Натуральное значение $y$: $1$. Получаем пару $(3, 1)$.
При $x = 4$:
$y < -(4)^2 + 4(4) - 1 = -16 + 16 - 1 = -1$. Нет натуральных значений $y$, которые меньше -1.
При $x > 4$ правая часть неравенства будет еще меньше, поэтому других решений в натуральных числах нет.
Изображение: на координатной плоскости строится парабола $y = -x^2 + 4x - 1$ (пунктиром), и заштриховывается область под ней. В этой области отмечаются точки с натуральными координатами, которые мы нашли.
Ответ: пары натуральных чисел из этого множества: $(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1)$.

5C)

Требуется найти площадь фигуры, заданной системой неравенств: $ \begin{cases} |x| + |y| \le 4, \\ y \le 1. \end{cases} $
Первое неравенство $|x| + |y| \le 4$ задает на плоскости квадрат с вершинами в точках $(4, 0), (0, 4), (-4, 0), (0, -4)$, включая его внутреннюю область. Диагонали этого квадрата лежат на осях координат, их длина равна 8. Площадь всего квадрата равна половине произведения диагоналей: $S_{квадрата} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$.
Второе неравенство $y \le 1$ задает полуплоскость, расположенную ниже горизонтальной прямой $y = 1$ (включая саму прямую).
Фигура, площадь которой нужно найти, является пересечением этих двух областей. Это квадрат, у которого "отрезана" верхняя часть прямой $y = 1$.
Проще всего найти площадь этой фигуры, вычтя из площади всего квадрата площадь отрезанного треугольника.
Отрезанная фигура – это маленький треугольник в верхней части квадрата. Его вершины: 1. Верхняя вершина квадрата $(0, 4)$. 2. Две другие вершины лежат на пересечении границ квадрата $|x| + |y| = 4$ и прямой $y = 1$. Подставим $y = 1$ в уравнение границы: $|x| + |1| = 4 \implies |x| = 3 \implies x = \pm 3$. Вершины отрезанного треугольника: $(0, 4), (3, 1)$ и $(-3, 1)$.
Основание этого треугольника лежит на прямой $y=1$ и его длина равна $3 - (-3) = 6$.
Высота треугольника – это расстояние по оси $y$ от вершины $(0, 4)$ до основания на прямой $y = 1$, она равна $4 - 1 = 3$.
Площадь отрезанного треугольника: $S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9$.
Искомая площадь фигуры равна разности площади большого квадрата и площади отрезанного треугольника:
$S = S_{квадрата} - S_{треуг} = 32 - 9 = 23$.
Альтернативный способ: можно разбить искомую фигуру на трапецию и треугольник. 1. Трапеция, лежащая между прямыми $y=0$ и $y=1$. Ее вершины: $(-4, 0), (4, 0), (3, 1), (-3, 1)$. Основания равны 8 и 6, высота 1. Площадь: $S_1 = \frac{8+6}{2} \cdot 1 = 7$. 2. Треугольник, лежащий ниже оси $x$. Его вершины: $(-4, 0), (4, 0), (0, -4)$. Основание равно 8, высота 4. Площадь: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$. Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = 7 + 16 = 23$.
Ответ: 23.