Номер 198, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 198, страница 58.
№198 (с. 58)
Условие. №198 (с. 58)
скриншот условия

198. В равнобедренном треугольнике основание равно $a$, а высота, проведенная к нему, равна $h$. Найдите радиус окружности, касающейся прямых, содержащих боковые стороны этого треугольника, если его основание является хордой окружности.
Решение. №198 (с. 58)

Решение 2 (rus). №198 (с. 58)
Решение
Введем прямоугольную систему координат. Пусть основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ лежит на оси $Ox$, а высота $BH$, проведенная к основанию, — на оси $Oy$. Точку $H$ (основание высоты) поместим в начало координат.
В этой системе координат вершины треугольника имеют следующие координаты:
$H(0, 0)$
$A(-a/2, 0)$
$C(a/2, 0)$
$B(0, h)$
Центр искомой окружности, обозначим его $O$, должен лежать на оси симметрии треугольника, которая совпадает с высотой $BH$ (осью $Oy$). Это следует из двух условий:
1. Окружность касается прямых $AB$ и $BC$, значит, ее центр равноудален от этих прямых и лежит на биссектрисе угла $ABC$, которой является высота $BH$.
2. Основание $AC$ является хордой окружности, значит, ее центр лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$, которым также является высота $BH$.
Таким образом, координаты центра окружности $O$ можно записать как $(0, y_0)$. Найдем радиус $R$ этой окружности.
Так как точки $A$ и $C$ лежат на окружности, расстояние от центра $O$ до любой из этих точек равно радиусу $R$. Используем точку $C(a/2, 0)$ и формулу расстояния между двумя точками:
$R^2 = (x_C - x_O)^2 + (y_C - y_O)^2 = (a/2 - 0)^2 + (0 - y_0)^2 = \frac{a^2}{4} + y_0^2$ (1)
С другой стороны, окружность касается прямой, содержащей боковую сторону $BC$. Это означает, что расстояние от центра $O(0, y_0)$ до прямой $BC$ также равно радиусу $R$.
Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки $B(0, h)$ и $C(a/2, 0)$. Угловой коэффициент $k$ равен:
$k = \frac{0 - h}{a/2 - 0} = -\frac{2h}{a}$
Уравнение прямой с y-пересечением $h$ имеет вид: $y = -\frac{2h}{a}x + h$.
Приведем это уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$:
$\frac{2h}{a}x + y - h = 0$, или $2hx + ay - ah = 0$.
Теперь найдем расстояние от точки $O(0, y_0)$ до этой прямой по формуле:
$R = \frac{|2h \cdot 0 + a \cdot y_0 - ah|}{\sqrt{(2h)^2 + a^2}} = \frac{|a(y_0 - h)|}{\sqrt{4h^2 + a^2}}$
Возведем это выражение в квадрат:
$R^2 = \frac{a^2(y_0 - h)^2}{4h^2 + a^2}$ (2)
Теперь у нас есть два выражения для $R^2$. Приравняем их:
$\frac{a^2}{4} + y_0^2 = \frac{a^2(y_0 - h)^2}{4h^2 + a^2}$
$(\frac{a^2}{4} + y_0^2)(4h^2 + a^2) = a^2(y_0^2 - 2hy_0 + h^2)$
Раскроем скобки:
$\frac{a^2}{4}(4h^2) + \frac{a^2}{4}a^2 + y_0^2(4h^2) + y_0^2 a^2 = a^2y_0^2 - 2a^2hy_0 + a^2h^2$
$a^2h^2 + \frac{a^4}{4} + 4h^2y_0^2 + a^2y_0^2 = a^2y_0^2 - 2a^2hy_0 + a^2h^2$
Сократим одинаковые члены ($a^2h^2$ и $a^2y_0^2$) в обеих частях уравнения:
$\frac{a^4}{4} + 4h^2y_0^2 = -2a^2hy_0$
Перенесем все члены в левую часть:
$4h^2y_0^2 + 2a^2hy_0 + \frac{a^4}{4} = 0$
Заметим, что левая часть является полным квадратом:
$(2hy_0 + \frac{a^2}{2})^2 = 0$
Отсюда находим $y_0$:
$2hy_0 + \frac{a^2}{2} = 0$
$2hy_0 = -\frac{a^2}{2}$
$y_0 = -\frac{a^2}{4h}$
Теперь, когда мы нашли координату центра, подставим ее в уравнение (1) для нахождения радиуса $R$:
$R^2 = \frac{a^2}{4} + y_0^2 = \frac{a^2}{4} + (-\frac{a^2}{4h})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^4}{16h^2}$
Приведем к общему знаменателю:
$R^2 = \frac{a^2 \cdot 4h^2 + a^4}{16h^2} = \frac{a^2(4h^2 + a^2)}{16h^2}$
Извлечем квадратный корень, чтобы найти $R$ (радиус не может быть отрицательным):
$R = \sqrt{\frac{a^2(4h^2 + a^2)}{16h^2}} = \frac{\sqrt{a^2}\sqrt{4h^2 + a^2}}{\sqrt{16h^2}} = \frac{a\sqrt{4h^2 + a^2}}{4h}$
Ответ: $R = \frac{a\sqrt{a^2 + 4h^2}}{4h}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 198 расположенного на странице 58 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №198 (с. 58), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.