Номер 198, страница 58 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 198, страница 58.

Условие.

198. В равнобедренном треугольнике основание равно $a$, а высота, проведенная к нему, равна $h$. Найдите радиус окружности, касающейся прямых, содержащих боковые стороны этого треугольника, если его основание является хордой окружности.

Решение.

Решение 2 (rus).

Решение

Введем прямоугольную систему координат. Пусть основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ лежит на оси $Ox$, а высота $BH$, проведенная к основанию, — на оси $Oy$. Точку $H$ (основание высоты) поместим в начало координат.

В этой системе координат вершины треугольника имеют следующие координаты:

$H(0, 0)$

$A(-a/2, 0)$

$C(a/2, 0)$

$B(0, h)$

Центр искомой окружности, обозначим его $O$, должен лежать на оси симметрии треугольника, которая совпадает с высотой $BH$ (осью $Oy$). Это следует из двух условий:

1. Окружность касается прямых $AB$ и $BC$, значит, ее центр равноудален от этих прямых и лежит на биссектрисе угла $ABC$, которой является высота $BH$.

2. Основание $AC$ является хордой окружности, значит, ее центр лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$, которым также является высота $BH$.

Таким образом, координаты центра окружности $O$ можно записать как $(0, y_0)$. Найдем радиус $R$ этой окружности.

Так как точки $A$ и $C$ лежат на окружности, расстояние от центра $O$ до любой из этих точек равно радиусу $R$. Используем точку $C(a/2, 0)$ и формулу расстояния между двумя точками:

$R^2 = (x_C - x_O)^2 + (y_C - y_O)^2 = (a/2 - 0)^2 + (0 - y_0)^2 = \frac{a^2}{4} + y_0^2$ (1)

С другой стороны, окружность касается прямой, содержащей боковую сторону $BC$. Это означает, что расстояние от центра $O(0, y_0)$ до прямой $BC$ также равно радиусу $R$.

Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки $B(0, h)$ и $C(a/2, 0)$. Угловой коэффициент $k$ равен:

$k = \frac{0 - h}{a/2 - 0} = -\frac{2h}{a}$

Уравнение прямой с y-пересечением $h$ имеет вид: $y = -\frac{2h}{a}x + h$.

Приведем это уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$:

$\frac{2h}{a}x + y - h = 0$, или $2hx + ay - ah = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $O(0, y_0)$ до этой прямой по формуле:

$R = \frac{|2h \cdot 0 + a \cdot y_0 - ah|}{\sqrt{(2h)^2 + a^2}} = \frac{|a(y_0 - h)|}{\sqrt{4h^2 + a^2}}$

Возведем это выражение в квадрат:

$R^2 = \frac{a^2(y_0 - h)^2}{4h^2 + a^2}$ (2)

Теперь у нас есть два выражения для $R^2$. Приравняем их:

$\frac{a^2}{4} + y_0^2 = \frac{a^2(y_0 - h)^2}{4h^2 + a^2}$

$(\frac{a^2}{4} + y_0^2)(4h^2 + a^2) = a^2(y_0^2 - 2hy_0 + h^2)$

Раскроем скобки:

$\frac{a^2}{4}(4h^2) + \frac{a^2}{4}a^2 + y_0^2(4h^2) + y_0^2 a^2 = a^2y_0^2 - 2a^2hy_0 + a^2h^2$

$a^2h^2 + \frac{a^4}{4} + 4h^2y_0^2 + a^2y_0^2 = a^2y_0^2 - 2a^2hy_0 + a^2h^2$

Сократим одинаковые члены ($a^2h^2$ и $a^2y_0^2$) в обеих частях уравнения:

$\frac{a^4}{4} + 4h^2y_0^2 = -2a^2hy_0$

Перенесем все члены в левую часть:

$4h^2y_0^2 + 2a^2hy_0 + \frac{a^4}{4} = 0$

Заметим, что левая часть является полным квадратом:

$(2hy_0 + \frac{a^2}{2})^2 = 0$

Отсюда находим $y_0$:

$2hy_0 + \frac{a^2}{2} = 0$

$2hy_0 = -\frac{a^2}{2}$

$y_0 = -\frac{a^2}{4h}$

Теперь, когда мы нашли координату центра, подставим ее в уравнение (1) для нахождения радиуса $R$:

$R^2 = \frac{a^2}{4} + y_0^2 = \frac{a^2}{4} + (-\frac{a^2}{4h})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^4}{16h^2}$

Приведем к общему знаменателю:

$R^2 = \frac{a^2 \cdot 4h^2 + a^4}{16h^2} = \frac{a^2(4h^2 + a^2)}{16h^2}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $R$ (радиус не может быть отрицательным):

$R = \sqrt{\frac{a^2(4h^2 + a^2)}{16h^2}} = \frac{\sqrt{a^2}\sqrt{4h^2 + a^2}}{\sqrt{16h^2}} = \frac{a\sqrt{4h^2 + a^2}}{4h}$

Ответ: $R = \frac{a\sqrt{a^2 + 4h^2}}{4h}$