Номер 193, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 193, страница 57.

Условие.

193. Изобразите множество решений неравенства с двумя переменными:

a) $x^2 + y^2 < 6x - 6y - 9$;

б) $|y| < \sqrt{x+2}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Преобразуем данное неравенство, чтобы привести его к каноническому виду уравнения окружности.
Исходное неравенство: $x^2 + y^2 < 6x - 6y - 9$.
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 6x + y^2 + 6y + 9 < 0$.
Теперь выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$.
Для $x$: $(x^2 - 6x + 9)$. Это равно $(x - 3)^2$.
Для $y$: $(y^2 + 6y + 9)$. Это равно $(y + 3)^2$.
Заметим, что после группировки слагаемых, исходное неравенство принимает вид:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9) - 9 < 0$
Или, точнее, исходное $x^2 - 6x + y^2 + 6y + 9 < 0$ можно сгруппировать так:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9) - 9 < 0$. Нет, это неверно.
Сгруппируем правильно:
$(x^2 - 6x) + (y^2 + 6y) + 9 < 0$.
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 9 < 0$
$(x - 3)^2 - 9 + (y + 3)^2 - 9 + 9 < 0$
$(x - 3)^2 + (y + 3)^2 - 9 < 0$
$(x - 3)^2 + (y + 3)^2 < 9$
Это неравенство описывает множество точек, находящихся внутри окружности.
Уравнение соответствующей окружности: $(x - 3)^2 + (y + 3)^2 = 3^2$.
Центр окружности находится в точке $(3; -3)$, а её радиус $R = 3$.
Так как неравенство строгое ($<$), граница (сама окружность) не входит в множество решений и изображается пунктирной линией.

Ответ: Множеством решений является внутренняя область окружности с центром в точке $(3; -3)$ и радиусом 3. Граница окружности не включается в решение.

б)

Рассмотрим неравенство $|y| < \sqrt{x + 2}$.
Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Это означает, что все решения должны находиться в полуплоскости справа от вертикальной прямой $x = -2$ (включая саму прямую).
Неравенство с модулем $|y| < \sqrt{x + 2}$ равносильно системе неравенств:
$-\sqrt{x + 2} < y < \sqrt{x + 2}$.
Это означает, что искомое множество точек лежит между двумя кривыми: $y = \sqrt{x + 2}$ и $y = -\sqrt{x + 2}$.
Возведя обе части уравнений $y = \sqrt{x + 2}$ (при $y \ge 0$) и $y = -\sqrt{x + 2}$ (при $y \le 0$) в квадрат, мы получим одно и то же уравнение:
$y^2 = x + 2$, или $x = y^2 - 2$.
Это каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Ox, с вершиной в точке $(-2; 0)$ и ветвями, направленными вправо.
Поскольку исходное неравенство строгое ($<$), граница области (сама парабола) не является частью решения и должна быть изображена пунктирной линией.
Множество решений — это все точки, лежащие "внутри" параболы $x = y^2 - 2$.

Ответ: Множеством решений является область, ограниченная параболой $x = y^2 - 2$, с вершиной в точке $(-2; 0)$ и ветвями, направленными вправо. Граница параболы не включается в решение.