Номер 192, страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 192, страница 57.

Условие.

192. Решите графически систему уравнений:

а) $\begin{cases} y = |x^2 - 6x + 5|, \\ y - x + 1 = 0; \end{cases}$ б) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 2y = 8, \\ xy + y = 4. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Решим систему уравнений $\{_{y - x + 1 = 0}^{y = |x^2 - 6x + 5|}\}$ графически.
1. Построим график функции $y = |x^2 - 6x + 5|$.
Для этого сначала построим параболу $y = x^2 - 6x + 5$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх.
Найдем координаты вершины параболы по формуле $x_0 = -b/(2a)$:
$x_0 = -(-6)/(2 \cdot 1) = 3$.
$y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.
Вершина параболы находится в точке $(3, -4)$.
Найдем нули функции (точки пересечения с осью Ox), решив уравнение $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
График функции $y = |x^2 - 6x + 5|$ получается из графика параболы $y = x^2 - 6x + 5$ путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая находится ниже оси Ox (на интервале $x \in (1, 5)$). При этом вершина $(3, -4)$ перейдет в точку $(3, 4)$.
2. Построим график уравнения $y - x + 1 = 0$.
Выразим $y$: $y = x - 1$. Это линейная функция, графиком которой является прямая.
Для построения прямой найдем координаты двух точек:
При $x = 1$, $y = 1 - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
При $x = 6$, $y = 6 - 1 = 5$. Точка $(6, 5)$.
3. Построим оба графика в одной системе координат. Точки пересечения графиков являются решениями системы.
Графики пересекаются в трех точках. Из построения видно, что это точки с координатами $(1, 0)$, $(4, 3)$ и $(6, 5)$.
Ответ: $(1, 0)$, $(4, 3)$, $(6, 5)$.

б) Решим систему уравнений $\{_{xy + y = 4}^{x^2 + y^2 - 2y = 8}\}$ графически.
1. Проанализируем и построим график первого уравнения: $x^2 + y^2 - 2y = 8$.
Преобразуем уравнение, выделив полный квадрат относительно переменной $y$:
$x^2 + (y^2 - 2y + 1) - 1 = 8$
$x^2 + (y - 1)^2 = 9$
$x^2 + (y - 1)^2 = 3^2$
Это стандартное уравнение окружности с центром в точке $C(0, 1)$ и радиусом $R = 3$.
2. Проанализируем и построим график второго уравнения: $xy + y = 4$.
Вынесем $y$ за скобки: $y(x + 1) = 4$.
Если $x \neq -1$, то $y = \frac{4}{x+1}$.
Графиком этой функции является гипербола. Ее можно получить сдвигом графика функции $y = 4/x$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Асимптоты гиперболы: вертикальная $x = -1$ и горизонтальная $y = 0$.
3. Построим окружность и гиперболу в одной системе координат. Координаты точек пересечения графиков будут решениями системы.
Из графиков видно, что они пересекаются в двух точках. Определим их координаты.
Первая точка пересечения имеет координаты $(3, 1)$.
Вторая точка пересечения имеет координаты $(0, 4)$.
Выполним проверку для найденных точек:
Для точки $(3, 1)$: $3^2 + (1-1)^2 = 9+0=9$ и $3 \cdot 1 + 1 = 4$. Оба равенства верны.
Для точки $(0, 4)$: $0^2 + (4-1)^2 = 0+9=9$ и $0 \cdot 4 + 4 = 4$. Оба равенства верны.
Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.
Ответ: $(3, 1)$, $(0, 4)$.