Номер 185, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 185, страница 56.

Условие.

185. Докажите, что прямая $x + y + 2 = 0$ касается окружности $x^2 + y^2 = 2$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Чтобы доказать, что прямая касается окружности, необходимо показать, что расстояние от центра окружности до данной прямой равно радиусу этой окружности. Если расстояние равно радиусу, то прямая и окружность имеют ровно одну общую точку, что и означает касание.

Сначала найдем параметры окружности. Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 2$ представлено в каноническом виде $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Из этого уравнения следует, что центр окружности находится в начале координат, в точке $O(0, 0)$, а квадрат радиуса $R^2 = 2$. Следовательно, радиус окружности равен $R = \sqrt{2}$.

Далее найдем расстояние $d$ от центра окружности $O(0, 0)$ до прямой $x + y + 2 = 0$. Общее уравнение прямой имеет вид $Ax + By + C = 0$, в нашем случае коэффициенты равны $A=1$, $B=1$, $C=2$. Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до прямой вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Подставим в формулу координаты центра $x_0 = 0$, $y_0 = 0$ и коэффициенты прямой:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$d = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

Теперь сравним вычисленное расстояние $d$ с радиусом окружности $R$. Мы получили, что расстояние $d = \sqrt{2}$ и радиус $R = \sqrt{2}$.

Так как расстояние от центра окружности до прямой равно ее радиусу ($d = R$), прямая является касательной к окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.