Номер 178, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 178, страница 55.

Условие.

178. Сумма двух смежных сторон прямоугольника не меньше 5 дм, а его диагональ не больше 4 дм. Исследуйте, может ли площадь этого прямоугольника быть равной:

а) $4,5$ дм$^2$;

б) $3$ дм$^2$.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть $a$ и $b$ — длины смежных сторон прямоугольника в дециметрах, $d$ — длина его диагонали, а $S$ — его площадь.

Согласно условию задачи, имеем два неравенства:

1. Сумма двух смежных сторон не меньше 5 дм: $a + b \ge 5$.

2. Диагональ не больше 4 дм: $d \le 4$.

Связь между сторонами и диагональю прямоугольника определяется теоремой Пифагора: $d^2 = a^2 + b^2$. Используя второе условие, получаем: $a^2 + b^2 \le 4^2$, то есть $a^2 + b^2 \le 16$.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = ab$.

Возведем в квадрат первое неравенство $a + b \ge 5$:

$(a + b)^2 \ge 5^2$

$a^2 + 2ab + b^2 \ge 25$

Теперь подставим в это неравенство известные нам величины: $a^2 + b^2$ и $ab = S$.

$(a^2 + b^2) + 2S \ge 25$

Мы знаем, что $a^2 + b^2 \le 16$. Максимальное значение суммы квадратов сторон равно 16. Подставим это максимальное значение в полученное неравенство, чтобы найти минимально возможную площадь:

$16 + 2S \ge (a^2 + b^2) + 2S \ge 25$

Отсюда следует неравенство:

$16 + 2S \ge 25$

$2S \ge 25 - 16$

$2S \ge 9$

$S \ge 4,5$

Таким образом, мы установили, что если прямоугольник удовлетворяет заданным условиям, его площадь должна быть не меньше 4,5 дм².

Теперь исследуем предложенные варианты.

а) может ли площадь этого прямоугольника быть равной 4,5 дм²?

Согласно нашему выводу $S \ge 4,5$, значение $S = 4,5$ является возможным. Это значение достигается, когда неравенства, которые мы использовали, обращаются в равенства. То есть, когда одновременно выполняются условия:

$a + b = 5$

$a^2 + b^2 = 16$

Из этих двух условий следует, что $S = ab = \frac{(a+b)^2 - (a^2+b^2)}{2} = \frac{5^2 - 16}{2} = \frac{25-16}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$.

Проверим, существуют ли такие стороны $a$ и $b$. Они являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (a+b)x + ab = 0$, то есть $x^2 - 5x + 4,5 = 0$.

Дискриминант этого уравнения $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4,5 = 25 - 18 = 7$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных положительных корня: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{7}}{2}$. Это означает, что прямоугольник с такими сторонами существует. Его площадь равна 4,5 дм², сумма сторон равна 5 дм, а квадрат диагонали равен $a^2+b^2=16$ (диагональ равна 4 дм). Все условия задачи выполнены.

Ответ: да, может.

б) может ли площадь этого прямоугольника быть равной 3 дм²?

Как было показано ранее, для любого прямоугольника, удовлетворяющего условиям задачи, его площадь $S$ должна удовлетворять неравенству $S \ge 4,5$ дм².

Значение площади 3 дм² не удовлетворяет этому условию, так как $3 < 4,5$. Следовательно, не существует прямоугольника, который бы одновременно удовлетворял заданным условиям и имел площадь 3 дм².

Ответ: нет, не может.