Номер 176, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 176, страница 55.

Условие.

176. a) Одна из сторон прямоугольника равна $\sqrt{997}$ см. Найдите его диагональ, если она и вторая сторона прямоугольника выражаются целым числом сантиметров.
б) Один из катетов прямоугольного треугольника равен $\sqrt{2031}$ см. Найдите его гипотенузу, если она равна целому числу сантиметров.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а диагональ равна $d$.

По условию, одна из сторон $a = \sqrt{997}$ см. Вторая сторона $b$ и диагональ $d$ являются целыми числами.

Диагональ прямоугольника и его стороны связаны теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = d^2$.

Подставим известное значение $a$:

$(\sqrt{997})^2 + b^2 = d^2$

$997 + b^2 = d^2$

Перенесем $b^2$ в правую часть:

$997 = d^2 - b^2$

Используем формулу разности квадратов:

$997 = (d - b)(d + b)$

Поскольку $d$ и $b$ — целые положительные числа (длины), то $(d-b)$ и $(d+b)$ являются целыми множителями числа 997.

Число 997 является простым. Его единственные натуральные делители — это 1 и 997.

Так как $d$ и $b$ — положительные числа, $d+b > 0$. Кроме того, $d$ — это диагональ, а $b$ — сторона, поэтому $d > b$, и, следовательно, $d-b > 0$. Также очевидно, что $d+b > d-b$.

Таким образом, существует только один вариант разложения на множители:

$d - b = 1$

$d + b = 997$

Мы получили систему из двух линейных уравнений. Сложим эти два уравнения:

$(d - b) + (d + b) = 1 + 997$

$2d = 998$

$d = 499$

Теперь найдем $b$ из первого уравнения:

$499 - b = 1$

$b = 498$

Мы получили, что вторая сторона $b=498$ см и диагональ $d=499$ см. Оба числа являются целыми, что соответствует условию задачи.

Ответ: 499 см.

б)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

По условию, один из катетов $a = \sqrt{2031}$ см, а гипотенуза $c$ является целым числом.

По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим известное значение $a$:

$(\sqrt{2031})^2 + b^2 = c^2$

$2031 + b^2 = c^2$

$2031 = c^2 - b^2$

Используем формулу разности квадратов:

$2031 = (c - b)(c + b)$

Поскольку $c$ — целое число, а $b$ — длина катета ($b>0$), то $c > b > 0$. Следовательно, множители $(c-b)$ и $(c+b)$ — положительные числа.

Разложим число 2031 на простые множители. Сумма цифр $2+0+3+1=6$, значит, число делится на 3.

$2031 = 3 \cdot 677$. Число 677 является простым.

Пары множителей числа 2031: (1, 2031) и (3, 677).

Для того чтобы гипотенуза $c$ была целым числом, сумма множителей $(c-b) + (c+b) = 2c$ должна быть четной. Это означает, что множители $(c-b)$ и $(c+b)$ должны быть одинаковой четности. Так как их произведение $2031$ нечетно, оба множителя должны быть нечетными. Все множители числа 2031 (1, 3, 677, 2031) являются нечетными, поэтому оба варианта разложения на множители приводят к решению.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1:

$c - b = 1$

$c + b = 2031$

Сложив уравнения, получаем: $2c = 2032$, откуда $c = 1016$.

Случай 2:

$c - b = 3$

$c + b = 677$

Сложив уравнения, получаем: $2c = 680$, откуда $c = 340$.

Оба значения для гипотенузы являются целыми числами и удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 1016 см или 340 см.