Номер 176, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 176, страница 55.
№176 (с. 55)
Условие. №176 (с. 55)
скриншот условия

176. a) Одна из сторон прямоугольника равна $\sqrt{997}$ см. Найдите его диагональ, если она и вторая сторона прямоугольника выражаются целым числом сантиметров.
б) Один из катетов прямоугольного треугольника равен $\sqrt{2031}$ см. Найдите его гипотенузу, если она равна целому числу сантиметров.
Решение. №176 (с. 55)

Решение 2 (rus). №176 (с. 55)
а)
Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а диагональ равна $d$.
По условию, одна из сторон $a = \sqrt{997}$ см. Вторая сторона $b$ и диагональ $d$ являются целыми числами.
Диагональ прямоугольника и его стороны связаны теоремой Пифагора: $a^2 + b^2 = d^2$.
Подставим известное значение $a$:
$(\sqrt{997})^2 + b^2 = d^2$
$997 + b^2 = d^2$
Перенесем $b^2$ в правую часть:
$997 = d^2 - b^2$
Используем формулу разности квадратов:
$997 = (d - b)(d + b)$
Поскольку $d$ и $b$ — целые положительные числа (длины), то $(d-b)$ и $(d+b)$ являются целыми множителями числа 997.
Число 997 является простым. Его единственные натуральные делители — это 1 и 997.
Так как $d$ и $b$ — положительные числа, $d+b > 0$. Кроме того, $d$ — это диагональ, а $b$ — сторона, поэтому $d > b$, и, следовательно, $d-b > 0$. Также очевидно, что $d+b > d-b$.
Таким образом, существует только один вариант разложения на множители:
$d - b = 1$
$d + b = 997$
Мы получили систему из двух линейных уравнений. Сложим эти два уравнения:
$(d - b) + (d + b) = 1 + 997$
$2d = 998$
$d = 499$
Теперь найдем $b$ из первого уравнения:
$499 - b = 1$
$b = 498$
Мы получили, что вторая сторона $b=498$ см и диагональ $d=499$ см. Оба числа являются целыми, что соответствует условию задачи.
Ответ: 499 см.
б)
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.
По условию, один из катетов $a = \sqrt{2031}$ см, а гипотенуза $c$ является целым числом.
По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
Подставим известное значение $a$:
$(\sqrt{2031})^2 + b^2 = c^2$
$2031 + b^2 = c^2$
$2031 = c^2 - b^2$
Используем формулу разности квадратов:
$2031 = (c - b)(c + b)$
Поскольку $c$ — целое число, а $b$ — длина катета ($b>0$), то $c > b > 0$. Следовательно, множители $(c-b)$ и $(c+b)$ — положительные числа.
Разложим число 2031 на простые множители. Сумма цифр $2+0+3+1=6$, значит, число делится на 3.
$2031 = 3 \cdot 677$. Число 677 является простым.
Пары множителей числа 2031: (1, 2031) и (3, 677).
Для того чтобы гипотенуза $c$ была целым числом, сумма множителей $(c-b) + (c+b) = 2c$ должна быть четной. Это означает, что множители $(c-b)$ и $(c+b)$ должны быть одинаковой четности. Так как их произведение $2031$ нечетно, оба множителя должны быть нечетными. Все множители числа 2031 (1, 3, 677, 2031) являются нечетными, поэтому оба варианта разложения на множители приводят к решению.
Рассмотрим оба случая.
Случай 1:
$c - b = 1$
$c + b = 2031$
Сложив уравнения, получаем: $2c = 2032$, откуда $c = 1016$.
Случай 2:
$c - b = 3$
$c + b = 677$
Сложив уравнения, получаем: $2c = 680$, откуда $c = 340$.
Оба значения для гипотенузы являются целыми числами и удовлетворяют условию задачи.
Ответ: 1016 см или 340 см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 176 расположенного на странице 55 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №176 (с. 55), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.