Номер 170, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 170, страница 54.

Условие.

170. При делении двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 4, а в остатке 3. Если это число разделить на произведение его цифр, то в частном будет 3, а в остатке будет 5. Что это за число?

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ – цифра десятков, а $b$ – цифра единиц. Согласно условиям, $a$ является целым числом от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ – целым числом от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Из первого условия задачи известно, что при делении числа на сумму его цифр в частном получается 4, а в остатке 3. Это можно записать в виде математического равенства, используя формулу деления с остатком (делимое = делитель ⋅ частное + остаток):
$10a + b = 4 \cdot (a + b) + 3$
При этом остаток всегда меньше делителя, что дает нам неравенство: $3 < a + b$.

Преобразуем первое уравнение, чтобы найти связь между $a$ и $b$:
$10a + b = 4a + 4b + 3$
$10a - 4a = 4b - b + 3$
$6a = 3b + 3$
Разделив обе части на 3, получим:
$2a = b + 1$
Отсюда выразим $b$:
$b = 2a - 1$

Из второго условия известно, что если это же число разделить на произведение его цифр, то в частном будет 3, а в остатке 5. Запишем второе уравнение:
$10a + b = 3 \cdot (a \cdot b) + 5$
Аналогично первому условию, остаток должен быть меньше делителя: $5 < a \cdot b$. Это означает, что ни одна из цифр не может быть нулем, то есть $a \ne 0$ и $b \ne 0$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение $b = 2a - 1$ во второе уравнение:
$10a + (2a - 1) = 3a(2a - 1) + 5$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:
$12a - 1 = 6a^2 - 3a + 5$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$6a^2 - 3a - 12a + 5 + 1 = 0$
$6a^2 - 15a + 6 = 0$
Для удобства разделим все уравнение на 3:
$2a^2 - 5a + 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать формулу для корней через дискриминант $D = B^2 - 4AC$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$a_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$
Получаем два возможных корня:
$a_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$a_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Поскольку $a$ – это цифра десятков двузначного числа, она должна быть целым числом. Следовательно, корень $a_2 = 0.5$ не является решением задачи. Единственное подходящее значение – $a = 2$.

Зная $a$, найдем $b$ из соотношения $b = 2a - 1$:
$b = 2 \cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3$

Таким образом, цифра десятков равна 2, а цифра единиц – 3. Искомое число – 23.

Выполним проверку найденного числа:
1. Сумма цифр: $2+3=5$. Делим число 23 на 5: $23 = 4 \cdot 5 + 3$. Частное 4, остаток 3. Первое условие выполняется.
2. Произведение цифр: $2 \cdot 3=6$. Делим число 23 на 6: $23 = 3 \cdot 6 + 5$. Частное 3, остаток 5. Второе условие выполняется.

Все условия задачи соблюдены.

Ответ: 23.