Номер 173, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 173, страница 54.

Условие.

173. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} xy + y = 9, \\ xy - x = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 81, \\ x^2 - y = 9. \end{cases}$

Решение.

Решение 2 (rus).

а) Дана система уравнений:

$\begin{cases} xy + y = 9 \\ xy - x = 4 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить член $xy$:

$(xy + y) - (xy - x) = 9 - 4$

$xy + y - xy + x = 5$

$y + x = 5$

Из этого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 5 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе исходное уравнение $xy - x = 4$:

$x(5 - x) - x = 4$

$5x - x^2 - x = 4$

$-x^2 + 4x = 4$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0 = x^2 - 4x + 4$

Легко заметить, что правая часть является полным квадратом разности:

$(x - 2)^2 = 0$

Отсюда следует, что $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$.

Найдем $y$, подставив найденное значение $x$ в выражение $y = 5 - x$:

$y = 5 - 2 = 3$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(2, 3)$. Выполним проверку, подставив значения в исходные уравнения:

$1) \ 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$

$2) \ 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$

Оба равенства верны.

Ответ: $(2, 3)$

б) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 81 \\ x^2 - y = 9 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x^2$:

$x^2 = 9 + y$

Подставим полученное выражение для $x^2$ в первое уравнение системы:

$(9 + y) + y^2 = 81$

Запишем это как стандартное квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 + y + 9 - 81 = 0$

$y^2 + y - 72 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 17}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 17}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующие значения $x$, используя уравнение $x^2 = 9 + y$.

1. Если $y_1 = 8$:

$x^2 = 9 + 8 = 17 \implies x = \pm\sqrt{17}$

Получаем две пары решений: $(\sqrt{17}, 8)$ и $(-\sqrt{17}, 8)$.

2. Если $y_2 = -9$:

$x^2 = 9 + (-9) = 0 \implies x = 0$

Получаем одну пару решений: $(0, -9)$.

Таким образом, система имеет три решения. Проверим их:

Для $(\pm\sqrt{17}, 8)$: $x^2+y^2 = (\pm\sqrt{17})^2 + 8^2 = 17+64 = 81$; $x^2-y = (\pm\sqrt{17})^2 - 8 = 17-8 = 9$. Верно.

Для $(0, -9)$: $x^2+y^2 = 0^2 + (-9)^2 = 0+81 = 81$; $x^2-y = 0^2 - (-9) = 0+9 = 9$. Верно.

Ответ: $(\sqrt{17}, 8), (-\sqrt{17}, 8), (0, -9)$