Номер 173, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

Авторы: Солтан Г. Н., Солтан А. Е., Жумадилова А. Ж.
Тип: Учебник
Издательство: Кокшетау
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-317-424-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 9 классе
6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 173, страница 54.
№173 (с. 54)
Условие. №173 (с. 54)
скриншот условия

173. Решите систему уравнений:
a) $\begin{cases} xy + y = 9, \\ xy - x = 4; \end{cases}$
б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 81, \\ x^2 - y = 9. \end{cases}$
Решение. №173 (с. 54)

Решение 2 (rus). №173 (с. 54)
а) Дана система уравнений:
$\begin{cases} xy + y = 9 \\ xy - x = 4 \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить член $xy$:
$(xy + y) - (xy - x) = 9 - 4$
$xy + y - xy + x = 5$
$y + x = 5$
Из этого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 5 - x$
Теперь подставим это выражение для $y$ во второе исходное уравнение $xy - x = 4$:
$x(5 - x) - x = 4$
$5x - x^2 - x = 4$
$-x^2 + 4x = 4$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$0 = x^2 - 4x + 4$
Легко заметить, что правая часть является полным квадратом разности:
$(x - 2)^2 = 0$
Отсюда следует, что $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$.
Найдем $y$, подставив найденное значение $x$ в выражение $y = 5 - x$:
$y = 5 - 2 = 3$
Таким образом, решение системы — пара чисел $(2, 3)$. Выполним проверку, подставив значения в исходные уравнения:
$1) \ 2 \cdot 3 + 3 = 6 + 3 = 9$
$2) \ 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$
Оба равенства верны.
Ответ: $(2, 3)$
б) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + y^2 = 81 \\ x^2 - y = 9 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $x^2$:
$x^2 = 9 + y$
Подставим полученное выражение для $x^2$ в первое уравнение системы:
$(9 + y) + y^2 = 81$
Запишем это как стандартное квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 + y + 9 - 81 = 0$
$y^2 + y - 72 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.
Найдем корни уравнения для $y$:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 17}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 17}{2} = \frac{-18}{2} = -9$
Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующие значения $x$, используя уравнение $x^2 = 9 + y$.
1. Если $y_1 = 8$:
$x^2 = 9 + 8 = 17 \implies x = \pm\sqrt{17}$
Получаем две пары решений: $(\sqrt{17}, 8)$ и $(-\sqrt{17}, 8)$.
2. Если $y_2 = -9$:
$x^2 = 9 + (-9) = 0 \implies x = 0$
Получаем одну пару решений: $(0, -9)$.
Таким образом, система имеет три решения. Проверим их:
Для $(\pm\sqrt{17}, 8)$: $x^2+y^2 = (\pm\sqrt{17})^2 + 8^2 = 17+64 = 81$; $x^2-y = (\pm\sqrt{17})^2 - 8 = 17-8 = 9$. Верно.
Для $(0, -9)$: $x^2+y^2 = 0^2 + (-9)^2 = 0+81 = 81$; $x^2-y = 0^2 - (-9) = 0+9 = 9$. Верно.
Ответ: $(\sqrt{17}, 8), (-\sqrt{17}, 8), (0, -9)$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 173 расположенного на странице 54 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №173 (с. 54), авторов: Солтан (Генадий Николаевич), Солтан (Алла Евгеньевна), Жумадилова (Аманбала Жумадиловна), учебного пособия издательства Кокшетау.