Номер 167, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 167, страница 54.

Условие.

167. Трехзначное число оканчивается цифрой 9. Если эту цифру переставить на первое место, то первоначальное число, умноженное на 9, будет больше нового числа на 71. Найдите первоначальное число.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть искомое трехзначное число - это $N$. По условию, оно оканчивается на 9. Представим его в виде $N = 10x + 9$, где $x$ — это двузначное число, образованное первыми двумя цифрами исходного числа. Поскольку $N$ — трехзначное, $x$ может принимать значения от 10 до 99.

Если в этом числе переставить цифру 9 на первое место, то получится новое число. Первые две цифры исходного числа ($x$) станут последними двумя цифрами нового числа. Таким образом, новое число $N_{new}$ можно представить как $900 + x$.

По условию задачи, первоначальное число, умноженное на 9, на 71 больше нового числа. Запишем это в виде уравнения:
$9 \cdot N = N_{new} + 71$

Подставим в уравнение выражения для $N$ и $N_{new}$:
$9 \cdot (10x + 9) = (900 + x) + 71$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:
$90x + 81 = 900 + x + 71$
$90x + 81 = 971 + x$
Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую:
$90x - x = 971 - 81$
$89x = 890$
$x = \frac{890}{89}$
$x = 10$

Мы нашли, что $x=10$. Это двузначное число, образованное первыми двумя цифрами искомого числа. Следовательно, искомое число $N$ равно $10 \cdot 10 + 9 = 109$.

Проверим результат:
Первоначальное число — 109.
Новое число, полученное перестановкой цифры 9, — 910.
Умножим первоначальное число на 9: $109 \cdot 9 = 981$.
Сравним это с новым числом, увеличенным на 71: $910 + 71 = 981$.
Результаты совпадают ($981=981$), значит, число найдено верно.

Ответ: 109.