Номер 162, страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

5. Системы неравенств с двумя переменными. I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 162, страница 52.

Условие.

162. Проведите исследование и запишите систему неравенств, мно-жество решений которой изображено на рисунке 26, а, б.

a)

$x^2 + (y+1)^2 \le 9$
$y \ge \frac{1}{3}x$

б)

$y \ge x^2 - 4$
$y \le 2$

Рисунок 26

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Заданная на рисунке заштрихованная область является пересечением двух множеств точек плоскости. Границы области — это окружность и прямая. Поскольку обе линии сплошные, неравенства будут нестрогими (будут включать знаки $\le$ или $\ge$).

1. Определим уравнение окружности.
Центр окружности находится в начале координат, в точке $O(0, 0)$. Радиус окружности $R$ можно определить по точкам пересечения с осями, например, точка $(3, 0)$ лежит на окружности, значит, $R=3$.
Каноническое уравнение окружности с центром в $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$.
Для нашей окружности уравнение будет: $x^2 + y^2 = 3^2$, то есть $x^2 + y^2 = 9$.
Заштрихованная область находится внутри круга, ограниченного этой окружностью. Следовательно, точки области удовлетворяют неравенству: $x^2 + y^2 \le 9$.

2. Определим уравнение прямой.
Прямая проходит через две точки, которые можно определить по графику: $(-3, 0)$ и $(3, -2)$.
Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.
Подставим координаты наших точек:
$\frac{y - 0}{-2 - 0} = \frac{x - (-3)}{3 - (-3)}$
$\frac{y}{-2} = \frac{x + 3}{6}$
$6y = -2(x + 3)$
$3y = -(x + 3)$
$3y = -x - 3$, или $x + 3y + 3 = 0$.
Чтобы определить знак неравенства, возьмем любую точку из заштрихованной области, например, $(0, 0)$. Подставим ее в выражение $x + 3y + 3$: $0 + 3(0) + 3 = 3$. Так как $3 > 0$, а граница сплошная, то все точки области удовлетворяют неравенству $x + 3y + 3 \ge 0$. Это эквивалентно $y \ge -\frac{1}{3}x - 1$. Область лежит выше прямой.

3. Запишем систему неравенств.
Область решений является пересечением множеств, удовлетворяющих обоим неравенствам.
$\begin{cases} x^2 + y^2 \le 9 \\ x + 3y + 3 \ge 0 \end{cases}$

Ответ: $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 9 \\ x + 3y + 3 \ge 0 \end{cases}$

б)

Заштрихованная область на рисунке ограничена тремя линиями: параболой (сплошная линия, значит неравенство нестрогое) и двумя горизонтальными прямыми (пунктирные линии, значит неравенства строгие).

1. Определим уравнение параболы.
Это парабола с ветвями, направленными вверх. Ее вершина находится в точке $(-2, -4)$.
Уравнение параболы с вершиной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y = a(x - x_0)^2 + y_0$.
Подставим координаты вершины: $y = a(x - (-2))^2 - 4$, то есть $y = a(x + 2)^2 - 4$.
Для нахождения коэффициента $a$ используем еще одну точку, через которую проходит парабола, например, начало координат $(0, 0)$.
$0 = a(0 + 2)^2 - 4$
$0 = 4a - 4$
$4a = 4 \implies a = 1$.
Таким образом, уравнение параболы: $y = (x+2)^2 - 4$, или в развернутом виде $y = x^2 + 4x$.
Заштрихованная область находится выше параболы, а граница сплошная, поэтому соответствующее неравенство: $y \ge x^2 + 4x$.

2. Определим неравенства, заданные горизонтальными прямыми.
Верхняя граница — это пунктирная прямая $y=2$. Так как область находится ниже этой прямой, а линия пунктирная, то неравенство будет строгим: $y < 2$.
Нижняя граница — это пунктирная прямая $y=-2$. Область находится выше этой прямой, линия пунктирная, следовательно, неравенство также строгое: $y > -2$.

3. Запишем систему неравенств.
Объединяя все три условия, получаем систему:
$\begin{cases} y \ge x^2 + 4x \\ y < 2 \\ y > -2 \end{cases}$
Последние два неравенства можно объединить в одно двойное неравенство: $-2 < y < 2$.

Ответ: $\begin{cases} y \ge x^2 + 4x \\ -2 < y < 2 \end{cases}$