Номер 171, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 171, страница 54.

Условие.

171. Найдите сторону ромба, площадь которого равна 80 $\text{см}^2$, а отношение диагоналей равно 0,8.

Решение.

Решение 2 (rus).

Обозначим диагонали ромба как $d_1$ и $d_2$, а его сторону как $a$.

Площадь ромба ($S$) через его диагонали вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

По условию задачи, площадь ромба $S = 80$ см², а отношение диагоналей равно 0,8. Пусть это будет отношение меньшей диагонали к большей:

$\frac{d_1}{d_2} = 0,8$

Из этого соотношения выразим $d_1$ через $d_2$:

$d_1 = 0,8 d_2$

Теперь подставим это выражение в формулу площади, чтобы найти длины диагоналей:

$80 = \frac{1}{2} \cdot (0,8 d_2) \cdot d_2$

$80 = 0,4 d_2^2$

Выразим $d_2^2$:

$d_2^2 = \frac{80}{0,4} = \frac{800}{4} = 200$

Теперь найдем $d_2$:

$d_2 = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ см.

Зная $d_2$, найдем $d_1$:

$d_1 = 0,8 \cdot 10\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они образуют четыре равных прямоугольных треугольника, у которых катеты — это половины диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенуза — это сторона ромба ($a$).

По теореме Пифагора, квадрат стороны ромба равен сумме квадратов половин его диагоналей:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

Подставим значения длин диагоналей:

$a^2 = \left(\frac{8\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{10\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$a^2 = (4\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2$

$a^2 = (16 \cdot 2) + (25 \cdot 2)$

$a^2 = 32 + 50$

$a^2 = 82$

$a = \sqrt{82}$ см.

Ответ: $\sqrt{82}$ см.