Номер 175, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 175, страница 55.

Условие.

175. Найдите все пары натуральных чисел $(x; y)$, являющиеся решениями уравнения:

а) $3x^2 + y^2 = 13$;

б) $(xy)^2 - 5xy + 6 = 0$;

В) $x^2 - y^2 = 105$.

Решение.

Решение 2 (rus).

а)

Дано уравнение $3x^2 + y^2 = 13$, где $x$ и $y$ — натуральные числа, то есть $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Поскольку $y^2 \ge 1^2 = 1$, то $3x^2 \le 13 - 1 = 12$, откуда $x^2 \le 4$.

Так как $x$ — натуральное число, возможные значения для $x$ — это $1$ и $2$.

Рассмотрим каждый случай:

1. Если $x = 1$, то $3(1)^2 + y^2 = 13$, что дает $3 + y^2 = 13$, или $y^2 = 10$. Число $y = \sqrt{10}$ не является натуральным, поэтому это не решение.

2. Если $x = 2$, то $3(2)^2 + y^2 = 13$, что дает $12 + y^2 = 13$, или $y^2 = 1$. Так как $y$ — натуральное число, $y = 1$.

Таким образом, единственная пара натуральных чисел, удовлетворяющая уравнению, — это $(2, 1)$.

Ответ: $(2, 1)$.

б)

Дано уравнение $(xy)^2 - 5xy + 6 = 0$. Это квадратное уравнение относительно произведения $xy$.

Сделаем замену переменной: пусть $z = xy$. Уравнение примет вид $z^2 - 5z + 6 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $z_1$ и $z_2$ удовлетворяют условиям $z_1 + z_2 = 5$ и $z_1 \cdot z_2 = 6$. Отсюда находим корни: $z_1 = 2$ и $z_2 = 3$.

Таким образом, мы имеем два случая:

1. $xy = 2$. Так как $x$ и $y$ — натуральные числа, нужно найти все пары натуральных делителей числа 2. Это пары $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

2. $xy = 3$. Так как $x$ и $y$ — натуральные числа, нужно найти все пары натуральных делителей числа 3. Это пары $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем четыре пары натуральных чисел.

Ответ: $(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)$.

в)

Дано уравнение $x^2 - y^2 = 105$, где $x$ и $y$ — натуральные числа.

Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 105$.

Так как $x, y$ — натуральные числа, то $x+y$ является натуральным числом. Из $x^2 = 105 + y^2$ следует, что $x^2 > y^2$, а значит $x > y$. Следовательно, $x-y$ также является натуральным числом.

Обозначим $a = x - y$ и $b = x + y$. Тогда $ab = 105$, причем $b > a$ (так как $y > 0$).

Выразим $x$ и $y$ через $a$ и $b$: $x = \frac{a+b}{2}$ и $y = \frac{b-a}{2}$.

Чтобы $x$ и $y$ были целыми числами, суммы $a+b$ и $b-a$ должны быть четными. Это возможно только если $a$ и $b$ имеют одинаковую четность. Поскольку их произведение $ab = 105$ нечетно, то и $a$, и $b$ должны быть нечетными.

Найдем все пары натуральных делителей $(a, b)$ числа $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$ так, чтобы $a < b$.

Делители 105: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105. Все они нечетные.

Возможные пары $(a, b)$:

1. $a = 1, b = 105$. Тогда $x = \frac{1+105}{2} = 53$, $y = \frac{105-1}{2} = 52$. Пара $(53, 52)$ является решением.

2. $a = 3, b = 35$. Тогда $x = \frac{3+35}{2} = 19$, $y = \frac{35-3}{2} = 16$. Пара $(19, 16)$ является решением.

3. $a = 5, b = 21$. Тогда $x = \frac{5+21}{2} = 13$, $y = \frac{21-5}{2} = 8$. Пара $(13, 8)$ является решением.

4. $a = 7, b = 15$. Тогда $x = \frac{7+15}{2} = 11$, $y = \frac{15-7}{2} = 4$. Пара $(11, 4)$ является решением.

Всего найдено четыре пары натуральных чисел.

Ответ: $(53, 52), (19, 16), (13, 8), (11, 4)$.