Номер 183, страница 56 - гдз по алгебре 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Упражнения на повторение раздела «Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы». I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы - номер 183, страница 56.

Условие.

183. Найдите натуральное число, которое от прибавления 5 и от вычитания 11 дает квадраты некоторых натуральных чисел (задача из древнеиндийской рукописи на березовой коре, найденной при раскопках в 1881 году в Индии).

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть искомое натуральное число — это $x$. Согласно условию задачи, $x+5$ и $x-11$ являются квадратами некоторых натуральных чисел. Обозначим эти натуральные числа как $a$ и $b$ соответственно.

Таким образом, мы можем составить систему из двух уравнений:
1) $x + 5 = a^2$
2) $x - 11 = b^2$

Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, их значения должны быть $a \ge 1$ и $b \ge 1$. Из второго уравнения следует, что $x-11 = b^2 \ge 1$, а значит, $x \ge 12$.

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $x$:
$(x + 5) - (x - 11) = a^2 - b^2$
$x + 5 - x + 11 = a^2 - b^2$
$16 = a^2 - b^2$

Мы получили уравнение, которое можно решить в натуральных числах. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(a - b)(a + b) = 16$

Так как $a$ и $b$ — натуральные числа, то $(a+b)$ также является натуральным числом. Поскольку $a^2 > b^2$, то $a > b$, следовательно, $(a-b)$ — также натуральное число.
Заметим, что числа $(a-b)$ и $(a+b)$ должны иметь одинаковую четность, так как их сумма равна $(a-b)+(a+b)=2a$ (четное число), а их разность равна $(a+b)-(a-b)=2b$ (четное число). Поскольку их произведение $16$ — четное число, то оба множителя, $(a-b)$ и $(a+b)$, должны быть четными.

Рассмотрим все возможные пары четных множителей числа 16, учитывая, что $a+b > a-b$:
1. $a-b = 2$ и $a+b = 8$.
Это единственная пара различных четных множителей. Составим и решим систему:
$\begin{cases} a - b = 2 \\ a + b = 8 \end{cases}$
Сложим два уравнения: $2a = 10$, откуда $a = 5$.
Подставим значение $a$ в любое из уравнений: $5 + b = 8$, откуда $b = 3$.
Мы получили натуральные значения $a=5$ и $b=3$.

Теперь найдем искомое число $x$, используя любое из первоначальных уравнений:
$x = a^2 - 5 = 5^2 - 5 = 25 - 5 = 20$.
Для проверки используем второе уравнение:
$x = b^2 + 11 = 3^2 + 11 = 9 + 11 = 20$.

Убедимся, что число 20 удовлетворяет условиям:
$20 + 5 = 25 = 5^2$
$20 - 11 = 9 = 3^2$
Оба результата являются квадратами натуральных чисел.

Ответ: 20